§ 55. Оператор сиина

Ниже, в этой главе, мы не будем интересоваться зависимостью волновых функций от координат. Говоря, например, о поведении функций при повороте системы координат, можно подразумевать, что частица находится в начале координат, так что ее координаты при таком повороте останутся неизменными и полученные результаты будут характерны именно для поведения функции в зависимости от спиновой переменной

Переменная о отличается от обычных переменных (координат) своей дискретностью. Наиболее общий вид линейного оператора, действующего на функции от дискретной переменной а, запишем в виде

где — постоянные; заключив в скобки, мы хотим подчеркнуть, что следующий далее спиновый аргумент относится уже не к начальной функции а к функции, возникшей под действием оператора f. Легко видеть, что величины совпадают с матричными элементами оператора, определенными по обычному правилу (11,5). Интегрирование по координатам в (11,5) заменяется теперь суммированием по дискретной переменной, так что определение матричного элемента принимает вид

Здесь — собственные функции оператора отвечающие собственным значениям ; каждая такая функция отвечает состоянию, в котором частица обладает определенным значением , т. е. из всех компонент волновой функции отлична от нуля лишь одна 2):

Согласно (55,1) имеем

и после подстановки, вместе с в (55,2) последнее равенство удовлетворяется автоматически, чем и доказывается сделанное утверждение.

Таким образом, операторы, действующие на функции от а, могут быть представлены в виде (2s + 1)-рядных матриц. Это относится, в частности, к оператору самого спина, действие которого на волновую функцию выражается, согласно (55,1), формулой

Согласно сказанному выше (конец § 54) матрицы совпадают с полученными в § 27 матрицами , в которых надо лишь заменить буквы L и М буквами s и

Тем самым мы определили оператор спина.

В важнейшем случае спина эти матрицы двухрядны. Их записывают в виде

где

Матрицы (55,7) называют матрицами Паули. Матрица диагональна, как и должно быть для матрицы, определенной по собственным функциям самой величины .

Отметим некоторые специфические свойства матриц Паули. Непосредственно перемножая матрицы (55,7), получим равенства

Комбинируя их с общими правилами коммутации (54,1), найдем, что

т. е. матрицы Паули антикоммутативны. С помощью этих равенств легко убедиться в справедливости следующих полезных формул:

(55,10)

где а и b — два произвольных вектора. В силу этих соотношений всякое скалярное полиномиальное выражение, составленное из матриц сводится к не зависящим от о членам и членам первой степени по а; отсюда следует, что всякая вообще скалярная функция оператора о сводится к линейной функции (см. задачу 1). Наконец, отметим значения следов (сумм диагональных компонент) матриц Паули и их произведений:

(55,11)

Подробному изучению спиновых свойств волновых функций, в том числе их поведения при произвольных вращениях системы координат, посвящены следующие параграфы этой главы. Но уже здесь сразу же отметим важное свойство этих функций — поведение относительно поворотов вокруг оси .

Произведем бесконечно малый поворот на угол вокруг оси . Оператор такого поворота выражается с помощью оператора момента (в данном случае — спина) в виде Поэтому в результате поворота функции перейдут в где

Переписав это соотношение в виде и интегрируя, находим, что при повороте на конечный угол функции перейдут в функции

(55,12)

В частности, при повороте на угол они умножаются на множитель одинаковый для всех и равный (число всегда имеет ту же четность, что и ).

Таким образом, при полном повороте системы координат вокруг оси волновые функции частицы с целым спином возвращаются к своему первоначальному аначению, а волновые функции частиц с полуцелым спином меняют свой знак.

Задачи

1. Свести произвольную функцию линейного по матрицам Паули скаляра к линейной функции.

Решение. Для определения коэффициентов в искомой формуле

замечаем, что при выборе оси вдоль направления b собственные значения оператора а равны , а соответствующие собственные значения оператора равны . Отсюда находим

2. Определить значения скалярного произведения спинов (1/2) двух частиц в состояниях, в которых суммарный спин системы имеет определенные значения (0 или 1).

Решение. По общей формуле (31,3), справедливой при сложении любых двух моментов, найдем

3. Какие степени оператора s произвольного спина s являются независимыми?

Решение. Оператор

составленный из разностей и всех возможных собственных значений дает нуль при воздействии на любую волновую функцию, а потому сам равен нулю. Отсюда следует, что выражается через более низкие степени оператора так что независимыми являются лишь его степени от 1 до 2s.