ГЛАВА V. ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ

§ 32. Движение в центрально-симметричном поле

Задача о движении двух взаимодействующих друг с другом частиц в квантовой механике может быть сведена к задаче об одной частице, — аналогично тому, как это может быть сделано в классической механике. Гамильтониан двух частиц (с массами ), взаимодействующих по закону ( — расстояние между частицами), имеет вид

где — операторы Лапласа по координатам частиц. Введем вместо радиусов-векторов частиц новые переменные R и :

— вектор взаимного расстояния, a R — радиус-вектор центра инерции частиц. Простое вычисление приводит к результату:

( и — операторы Лапласа соответственно по компонентам векторов R и ; — полная масса системы; — приведенная масса). Таким образом, гамильтониан распадается на сумму двух независимых частей. Соответственно этому, можно искать в виде произведения , где функция описывает движение центра инерции (как свободное движение частицы с массой ), описывает относительное движение частиц (как движение частицы массы в центрально-симметричном поле ).

Уравнение Шредингера для движения частицы в центральносимметричном поле имеет вид

Воспользовавшись известным выражением для оператора Лапласа в сферических координатах, напишем это уравнение в виде

Если ввести сюда оператор (26,16) квадрата момента, то мы получим

При движении в центрально-симметричном поле момент импульса сохраняется. Будем рассматривать стационарные состояния с определенными значениями момента l и его проекции . Заданием значений l и определяется угловая зависимость волновых функций. Соответственно этому, ищем решения уравнения (32,6) в виде

где — сферические функции. Поскольку то для «радиальной функции» получаем уравнение

Это уравнение не содержит вовсе значения что соответствует известному уже нам ()-кратному вырождению уровней по направлениям момента.

Займемся исследованием радиальной часри волновых функций. Подстановкой

уравнение (32,8) приводится к виду

(32,10)

Если потенциальная энергия везде конечна, то должна быть конечной во всем пространстве, включая начало координат, также и волновая функция а следовательно, и ее радиальная часть . Отсюда следует, что должна обращаться при в нуль:

(32,11)

В действительности это условие сохраняется (см. § 35) также и для поля, обращающегося при в бесконечность.

Уравнение (32,10) по форме совпадает с уравнением Шредингера для одномерного движения в поле с потенциальной энергией

(32,12)

равной сумме энергии и члена

который можно назвать центробежной энергией. Таким образом, задача о движении в центрально-симметричном поле сводится к задаче об одномерном движении в области, ограниченной с одной стороны (граничное условие при ). «Одномерный характер» имеет также и условие нормировки для функций определяющееся интегралом

При одномерном движении в ограниченной с одной стороны области уровни энергии не вырождены (§ 21). Поэтому можно сказать, что заданием значения энергии решение уравнения (32,10), т. е. радиальная часть волновой функции, определяется полностью. Имея также в виду, что угловая часть волновой функции полностью определяется значениями l и , мы приходим к выводу, что при движении в центрально-симметричном поле волновая функция полностью определяется значениями . Другими словами, энергия, квадрат момента и его проекция составляют вместе полный набор физических величин для такого движения.

Сведение задачи о движении в центрально-симметричном поле к одномерному позволяет применить осцилляционную теорему (§ 21). Расположим собственные значения энергии (дискретного спектра) при заданном в порядке возрастания, перенумеровав их порядковыми номерами причем наиболее низкому уровню приписывается номер Тогда определяет число узлов радиальной части волновой функции при конечных значениях (не считая точки ). Число называют радиальным тантовым числом.

Число при движении в центрально-симметричном поле иногда называют азимутальным квантовым числом, — магнитным квантовым числом.

Для обозначения состояний с различными значениями момента частицы существует общепринятая символика; состояния обозначаются буквами латинского алфавита со следующим соответствием

(32,13)

Нормальным состоянием при движении частицы в центральносимметричном поле всегда является -состояние; действительно, при угловая часть волновой функции во всяком случае имеет узлы, между тем как волновая функция нормального состояния не должна иметь узлов вовсе. Можно также утверждать, что наименьшее возможное при заданном собственное значение энергии растет с увеличением . Это следует уже из того, наличие момента связано с добавлением в гамильтониане существенно положительного члена растущего с увеличением .

Определим вид радиальной функции вблизи начала координат. При этом будем считать, что

(32,14)

Ищем в виде степенного ряда по , оставляя при малых только первый член разложения; другими словами, ищем в виде Подставляя это в уравнение

получающееся из (32,8) умножением последнего на и переходом к , найдем

Отсюда

Решение с не удовлетворяет необходимым условиям; оно обращается в бесконечность при (напомним, что Таким образом, остается решение с , т. е. вблизи начала координат волновые функции состояний G данным пропорциональны

(32,15)

Вероятность частице находиться на расстоянии от центра между определяется величиной и поэтому пропорциональна Мы видим, что она тем быстрее обращается в нуль в начале координат, чем больше значение l.