Главная > Теоретическая физика. Т. III. Квантовая механика (нерелятивистская теория).
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 118. Модель оболочек

Многие свойства ядер могут быть хорошо описаны с помощью модели оболочек, по своим основным представлениям аналогичной тому, как описывается строение электронной оболочки атома. В этом описании каждый нуклон в ядре рассматривается как движущийся в самосогласованном поле, создаваемом совокупностью всех остальных нуклонов (ввиду малого радиуса действия ядерных сил это поле быстро затухает вне объема, ограниченного «поверхностью» ядра). Соответственно этому, состояние ядра в целом описывается перечислением состояний отдельных нуклонов.

Самосогласованное поле сферически-симметрично, причем центром симметрии является, естественно, центр инерции ядра. В связи с этим, однако, возникает следующее затруднение. В методе самосогласованного поля волновая функция системы строится как произведение (или должным образом симметризованная сумма произведений) волновых функций отдельных частиц. Но такая функция не обеспечивает неподвижности центра инерции: хотя вычисленное с ее помощью среднее значение скорости центра инерции и будет равным нулю, но эта же волновая функция приведет к конечным вероятностям отличных от нуля значений скорости

Это затруднение может быть обойдено путем предварительного исключения движения центра инерции при вычислении любой физической величины с помощью волновых функций метода самосогласованного поля. Пусть есть какая-либо физическая величина — функция координат и импульсов нуклонов. Тогда при вычислении ее матричных элементов с помощью функций надо, не меняя произвести замену аргументов функции согласно

(118,1)

где R — радиус-вектор центра инерции ядра; А — число частиц в нем; Р — импульс его движения как целого; вторая из замен (118,1) соответствует вычитанию — V из скоростей нуклонов скорости центра инерции V, с которой импульс Р связан посредством (S. Garienhaus, С. Schwartz, 1957).

Так, оператор дипольного момента ядра есть где суммирование производится по всем протонам в ядре. Для вычисления же матричных элементов в методе самосогласованного поля этот оператор надо заменить оператором Координаты центра ядра

(суммирования по всем протонам и нейтронам). Поскольку число протонов в ядре есть Z, то окончательно оператор дипольного момента должен быть заменен согласно

Протоны входят сюда с «эффективным зарядом» а нейтроны — с «зарядом» — Отметим, что относительный - порядок величины возникающих при вычислении дипольного момента поправочных членов оказывается, как видно из (118,2),

Поправки же при вычислении магнитных и следующих электрических мультипольных моментов оказываются, как легко увидеть, относительного порядка

В нерелятивистском приближении взаимодействие нуклона с самосогласованным полем не зависит от спина нуклона: такая зависимость могла бы выражаться лишь членом, пропорциональным где — единичный вектор в направлении радиуса-вектора нуклона ; но это произведение является не истинным, а псевдоскаляром.

Зависимость энергии нуклона от его спина появляется, однако, при учете релятивистских членов, зависящих от скорости частицы. Наибольшим из них является член, пропорциональный первой степени скорости. Из трех векторов и можно составить истинный скаляр: . Поэтому оператор спин-орбитальной связи нуклона в ядре имеет вид

(118,3)

где — некоторая функция от (ср. также примечание на стр. 556). Поскольку есть орбитальный момент частицы, то выражение (118,3) можно написать также и в виде

(118,4)

где . Подчеркнем, что это взаимодействие — первого порядка по между тем как спин-орбитальная связь электрона в атоме — эффект второго порядка (§ 72); это отличие связано с тем, что ядерные силы зависят от спина уже в нерелятивистском приближении, в то - время как нерелятивистское взаимодействие электронов (кулоновы силы) от спинов не зависит.

Энергия спин-орбитального взаимодействия сосредоточена в основном вблизи поверхности ядра, т. е. функция убывает в глубь ядра. Действительно, в неограниченном ядерном веществе взаимодействие такого вида вообще не могло бы существовать, как это ясно уже из того, что ввиду однородности такой системы в ней отсутствует какое-либо выделенное направление, вдоль которого мог бы быть направлен вектор .

Взаимодействие (118,4) приводит к расщеплению уровня нуклона с орбитальным моментом l на два уровня с моментами . Поскольку

(по формуле (31,3)), то величина этого расщепления

(118,6)

Опыт показывает, что уровень (параллельные векторы l и s) оказывается глубже уровня с ; это значит, что функция

Спин-орбитальная связь нуклона в ядре относительно слаба по сравнению с его взаимодействием с самосогласованным полем. В то же время оно оказывается, вообще говоря, большим по сравнению с энергией прямого взаимодействия двух нуклонов в ядре, в результате более быстрого убывания последнего с увеличением атомного веса.

Такое соотношение между энергиями различных взаимодействий приводит к тому, что классификация ядерных уровней должна происходить по типу -связи: спины и орбитальные моменты каждого нуклона складываются в полные моменты , оказывающиеся определенными величинами, поскольку связь между 1 и s не разрушается прямым взаимодействием частиц между собой (М. Goppert-Mayer, 1949; О. Haxel, J. Н. Jensen, Н. Е. Suess, 1949) ). Векторы j отдельных нуклонов складываются затем в суммарный момент ядра J (который обычно называют просто спином ядра, как если бы ядро представляло собой элементарную частицу). В этом отношении классификация ядерных уровней существенно отличается от классификации атомных уровней: в электронной оболочке атома релятивистская спин-орбитальная связь, вообще говоря, мала по сравнению с прямым электрическим и обменным взаимодействиями, и потому классификация уровней происходит обычно по типу -связи.

Состояние каждого нуклона в ядре характеризуется его моментом и его четностью. Хотя каждый из его векторов 1 и s в отдельности не сохраняется, но абсолютная величина орбитального момента нуклона тем не менее оказывается определенной. Действительно, момент может возникнуть либо из состояния с либо из состояния с . При заданном значении (полуцелом) оба эти состояния имеют разную четность а потому заданием и четности определяется и квантовое число l.

Состояния нуклонов с одинаковыми l и принято нумеровать (в порядке увеличения энергии) «главным квантовым числом» , пробегающим целые значения, начиная с 1. Различные состояния обозначают символами и т. п., где цифра перед буквой есть главное квантовое число, буквы указывают обычным образом значение l, а индекс у буквы — значение .

В состоянии с заданными значениями может одновременно находиться не более нейтронов и столько же протонов.

Характеристики состояния ядра в целом (при заданной конфигурации) принято записывать в виде цифры, дающей значение J, с индексом -f или указывающим четность состояния (последняя определяется в модели оболочек четностью или нечетностью алгебраической суммы значений l всех нуклонов).

В результате анализа экспериментальных данных о свойствах ядер оказывается возможным установить ряд закономерностей в расположении ядерных уровней.

Прежде всего оказывается, что энергия уровней нуклона возрастает с увеличением орбитального момента l. Это правило связано с тем, что с увеличением l возрастает центробежная энергия частицы, а потому уменьшается ее энергия связи.

Далее, при заданном значении уровень с (т. е. отвечающий параллельным векторам 1 и s) лежит глубже, чем уровень с . Это правило уже упоминалось выше в связи со свойствами спин-орбитальной связи нуклона в ядре.

Следующее правило относится к изотопическому спину ядер. Напомним, что проекция изоспина определяется уже весом и номером ядра (см. (116,1)). При заданном значении абсолютная величина изоспина может иметь любые значения, удовлетворяющие неравенству Обычно основное состояние ядра имеет наименьшее из этих допустимых значений изоспина, т. е.

(118,7)

Это правило связано с характером взаимодействия нейтрона с протоном, — с тем, что в системе пр состояние с изоспином (состояние нейтрона) имеет большую энергию связи, чем состояние с (см. примечание на стр. 557).

Можно также сформулировать некоторые правила, относящиеся к спинам основных состояний ядер. Эти правила определяют, каким образом моменты j отдельных нуклонов складываются в общий спин ядра. Они являются проявлением стремления протонов и нейтронов, находящихся в ядре в одинаковых состояниях, к попарному и пп) «спариванию» со взаимно противоположными моментами (энергия связи таких пар составляет величину порядка 1—2 МэВ).

Это явление приводит, например, к тому, что если ядро содержит четное число как протонов, так и нейтронов (четно-четные ядра), то моменты всех нуклонов попарно компенсируются, так что общий момент ядра обращается в нуль.

Если ядро содержит нечетное число протонов или нейтронов, причем все нуклоны сверх заполненных оболочек находятся в одинаковых состояниях, то обычно полный момент ядра совпадает с моментом одного нуклона — как если бы после спаривания всех возможных пар протонов и нейтронов оставался всего один нуклон с некомпенсированным моментом (полные же моменты заполненных оболочек автоматически равны нулю).

Для нечетно-нечетных же ядер (нечетные Z и N) нет какого-либо достаточно общего правила, определяющего спин основного состояния.

Рассмотрение конкретного хода заполнения оболочек в ядрах требовало бы детального анализа имеющихся экспериментальных данных и выходит за рамки этой книги. Мы ограничимся здесь лишь еще некоторыми общими указаниями.

При изучении свойств атомов мы видели, что электронные состояния в них можно разбить на группы такие, что при заполнении каждой из них и переходе к следующей энергия связи электрона падает. Аналогичная ситуация имеет место для ядер, причем нуклонные состояния распределяются по следующим группам:

(118,8)

Для каждой группы указано полное число протонных или нейтронных вакансий. Соответственно этим числам заполнение какой-либо из групп заканчивается, когда полное число протонов Z или нейтронов N в ядре равно одному из следующих чисел:

Эти числа принято называть магическими.

Особой устойчивостью обладают так называемые дважды магические ядра, в которых как Z, так и N являются магическими числами. По сравнению с близкими к ним ядрами они обладают аномально малым сродством к еще одному нуклону, а их первые возбужденные уровни лежат аномально высоко.

Различные состояния в каждой из групп (118,8) перечислены примерно в порядке их постепенного заполнения в ряду ядер. В действительности при этом заполнении наблюдаются значительные иррегулярности. Кроме того, надо иметь в виду, что в тяжелых ядрах (далеких от магических) расстояния между различными уровнями могут оказаться сравнимыми с «энергией спаривания»; в этих условиях само понятие индивидуальных состояний компонент пары в значительной степени теряет смысл.

Сделаем некоторые замечания по поводу вычисления магнитного момента ядра в модели оболочек. Говоря о магнитном моменте ядра, мы подразумеваем, естественно, магнитный момент, усредненный по движению частиц в ядре. Этот средний магнитный момент направлен, очевидно, вдоль спина ядра J, направление которого является единственным выделенным направлением в ядре; поэтому его оператор

(118,9)

где — ядерный магнетон, a g — гиромагнитный множитель. Собственное значение проекции этого момента Обычно под магнитным моментом , ядра понимают просто максимальное значение его проекции, т. е. с таким обозначением

(118,10)

Магнитный момент ядра складывается из магнитных моментов нуклонов, находящихся вне заполненных оболочек, поскольку моменты нуклонов в заполненных оболочках взаимно компенсируются. Каждый нуклон создает в ядре магнитный момент, складывающийся из двух частей; спиновой и (в случае протона) орбитальной, т. е. представляющийся суммой (Здесь и ниже мы опускаем множитель подразумевая, как это обычно делается, что магнитные моменты измерены в единицах ядерного магнетона.) Орбитальный и спиновый гиромагнитные множители равны: для протона и для нейтрона.

После усреднения по движению нуклона в ядре, его магнитный момент становится пропорциональным написав его в виде имеем

Умножив это равенство с обеих сторон на и переходя к собственным значениям, получим

а положив здесь , найдем

С указанными выше значениями гиромагнитных множителей это дает для магнитного момента протона :

и для магнитного момента нейтрона

(118,13)

Если вне заполненных оболочек имеется всего один нуклон, формулы (118,12) или (118,13) непосредственно дают магнитный момент ядра. Для двух нуклонов сложение их магнитных моментов тоже производится элементарно (см. задачу. В случае большего числа нуклонов усреднение магнитного момента должно производиться с помощью волновой функции системы, должным образом составленной из индивидуальных волновых функций нуклонов. Задание нуклонной конфигурации и состояния ядра в целом позволяют сделать это однозначным образом в тех случаях, когда данной конфигурации может соответствовать всего одно состояние системы с заданными значениями J и Т (см., например, задачу 3); в противном случае состояние ядра представляет собой смесь нескольких независимых состояний (с одинаковыми J, Т) и, вообще говоря, остаются неизвестными коэффициенты в линейной комбинации, дающей волновую функцию ядра

Наконец укажем, что наличие спин-орбитальной связи нуклонов в ядре приводит к появлению у протонов в ядре некоторого дополнительного (по отношению к (118,9)) магнитного момента (М. Goppert-Mayer, J. Н. Jensen, 1952). Дело в том, что при явной зависимости оператора взаимодействия от скорости частицы переход к случаю наличия внешнего поля совершается путем замены оператора импульса согласно .

Производя эту замену в (118,3) и воспользовавшись выражением (111,7) для векторного потенциала, найдем, что в гамильтониане протона появляется дополнительный член

Такой член эквивалентен возникновению дополнительного магнитного момента с оператором

Задачи

1. Определить магнитный момент системы двух нуклонов (с полным механическим моментом ). выразив его через магнитные моменты каждого из нуклонов.

Решение. Аналогично выводу формулы (118,11) получим

2. Найти возможные состояния системы трех нуклонов с моментами (и одинаковыми главными квантовыми числами).

Решение. Поступаем аналогично тому, как было сделано в § 67 при нахождении возможных состояний системы эквивалентных электронов. Каждый нуклон может находиться в одном из восьми состояний со следующими парами значений чисел

Комбинируя эти состояния по три различных, найдем следующие пары значений для системы трех нуклонов:

(цифра перед скобками указывает число соответствующих состояний; состояний с отрицательными значениями можно не выписывать). Им соответствуют состояния системы со следующими значениями чисел

3. Определить магнитный момент основного состояния конфигурации двух нейтронов и одного протона в состояниях (с одинаковыми ) с учетом изотопической инвариантности

Решение. Основное состояние такой конфигурации имеет , а по указанному в тексте правилу его изоспин имеет наименьшее возможное значение

Определим волновую функцию системы, соответствующую наибольшему возможному значению . Это значение может быть осуществлено (с учетом требований принципа Паули для двух одинаковых нуклонов) следующими тройками значений соответственно для нуклонов :

Поэтому искомая волновая функция является линейной комбинацией вида

где обозначает нормированное антисимметризованное произведение (т. е. определитель вида (61,5)) индивидуальных волновых функций нуклонов. Функция (1) должна обращаться в нуль при воздействии на нее операторов

(ср. задачу к § 67). Операторы W) превращают протонную функцию нуклона в нейтронную (а нейтронную функцию — в нуль). Легко видеть поэтому, что оператор обращает первый член в (1) в определитель с двумя одинаковыми строками, т. е. в нуль, а определители в трех остальных членах становятся одинаковыми; поэтому получаем условие b + с + d = 0. Далее, для отдельного нуклона с моментом и различными значениями имеем (согласно (27,12))

Отсюда легко найти, что при воздействии оператора на функцию (1) получается

(изменение знака некоторых членов связано с перестановкой строк определителя). Условие равенства этого выражения нулю дает

Вместе с условием нормировки функции (1) полученные соотношения дают

Учитывая, что среднее значение проекции магнитного момента протона (или нейтрона) в состоянии с данным есть найдем, что среднее значение момента системы, вычисленное с помощью волновой функции (1), равно

По формулам (118,12), (118,13) найдем, что для нуклона в состоянии . В результате

4. Определить магнитный момент ядра, в котором все нуклоны вне заполненных оболочек находятся в одинаковых состояниях, причем число протонов равно числу нейтронов.

Решение. Поскольку при N = Z проекция изоспина , то диагональные матричные элементы имеет только изотопически-скалярная часть ратора

(см. конец § 116), Выделяя эту часть в соответствии с формулой (116,5), найдем, что она равна

Поэтому полный средний магнитный момент ядра равен

5. Вычислить дополнительный магнитный момент нуклона с механическим моментом выразив его через величину спин-орбитального расщепления (118,6) {М. Goppert Mayer, J. H. Jensen, 1952).

Решение. Усреднение угловой части оператора (118,11) (выражение в фигурных скобках в (118,14); обозначим его как а) производится по формуле, полученной в задаче к § 29, и дает

С другой стороны, после полного усреднения по движению нуклона среднее значение а может быть направлено лишь по j, т. е. отсюда .

Произведя проецирование вектора (2) на j (причем надо учесть, что оператор коммутирует с и переходя к собственным значениям величин и т. п., получим, после простого вычисления, следующее выражение для дополнительного магнитного момента нуклона (в единицах ядерного магнетона):

( — масса нуклона; R — радиус ядра; при усреднении множитель заменен на ввиду быстрого убывания в глубь ядра). Среднее значение f в (3) может быть выражено через спин-орбитальное расщепление согласно (118,6).

1
Оглавление
email@scask.ru