§ 118. Модель оболочек

Многие свойства ядер могут быть хорошо описаны с помощью модели оболочек, по своим основным представлениям аналогичной тому, как описывается строение электронной оболочки атома. В этом описании каждый нуклон в ядре рассматривается как движущийся в самосогласованном поле, создаваемом совокупностью всех остальных нуклонов (ввиду малого радиуса действия ядерных сил это поле быстро затухает вне объема, ограниченного «поверхностью» ядра). Соответственно этому, состояние ядра в целом описывается перечислением состояний отдельных нуклонов.

Самосогласованное поле сферически-симметрично, причем центром симметрии является, естественно, центр инерции ядра. В связи с этим, однако, возникает следующее затруднение. В методе самосогласованного поля волновая функция системы строится как произведение (или должным образом симметризованная сумма произведений) волновых функций отдельных частиц. Но такая функция не обеспечивает неподвижности центра инерции: хотя вычисленное с ее помощью среднее значение скорости центра инерции и будет равным нулю, но эта же волновая функция приведет к конечным вероятностям отличных от нуля значений скорости

Это затруднение может быть обойдено путем предварительного исключения движения центра инерции при вычислении любой физической величины с помощью волновых функций метода самосогласованного поля. Пусть есть какая-либо физическая величина — функция координат и импульсов нуклонов. Тогда при вычислении ее матричных элементов с помощью функций надо, не меняя произвести замену аргументов функции согласно

(118,1)

где R — радиус-вектор центра инерции ядра; А — число частиц в нем; Р — импульс его движения как целого; вторая из замен (118,1) соответствует вычитанию — V из скоростей нуклонов скорости центра инерции V, с которой импульс Р связан посредством (S. Garienhaus, С. Schwartz, 1957).

Так, оператор дипольного момента ядра есть где суммирование производится по всем протонам в ядре. Для вычисления же матричных элементов в методе самосогласованного поля этот оператор надо заменить оператором Координаты центра ядра

(суммирования по всем протонам и нейтронам). Поскольку число протонов в ядре есть Z, то окончательно оператор дипольного момента должен быть заменен согласно

Протоны входят сюда с «эффективным зарядом» а нейтроны — с «зарядом» — Отметим, что относительный - порядок величины возникающих при вычислении дипольного момента поправочных членов оказывается, как видно из (118,2),

Поправки же при вычислении магнитных и следующих электрических мультипольных моментов оказываются, как легко увидеть, относительного порядка

В нерелятивистском приближении взаимодействие нуклона с самосогласованным полем не зависит от спина нуклона: такая зависимость могла бы выражаться лишь членом, пропорциональным где — единичный вектор в направлении радиуса-вектора нуклона ; но это произведение является не истинным, а псевдоскаляром.

Зависимость энергии нуклона от его спина появляется, однако, при учете релятивистских членов, зависящих от скорости частицы. Наибольшим из них является член, пропорциональный первой степени скорости. Из трех векторов и можно составить истинный скаляр: . Поэтому оператор спин-орбитальной связи нуклона в ядре имеет вид

(118,3)

где — некоторая функция от (ср. также примечание на стр. 556). Поскольку есть орбитальный момент частицы, то выражение (118,3) можно написать также и в виде

(118,4)

где . Подчеркнем, что это взаимодействие — первого порядка по между тем как спин-орбитальная связь электрона в атоме — эффект второго порядка (§ 72); это отличие связано с тем, что ядерные силы зависят от спина уже в нерелятивистском приближении, в то - время как нерелятивистское взаимодействие электронов (кулоновы силы) от спинов не зависит.

Энергия спин-орбитального взаимодействия сосредоточена в основном вблизи поверхности ядра, т. е. функция убывает в глубь ядра. Действительно, в неограниченном ядерном веществе взаимодействие такого вида вообще не могло бы существовать, как это ясно уже из того, что ввиду однородности такой системы в ней отсутствует какое-либо выделенное направление, вдоль которого мог бы быть направлен вектор .

Взаимодействие (118,4) приводит к расщеплению уровня нуклона с орбитальным моментом l на два уровня с моментами . Поскольку

(по формуле (31,3)), то величина этого расщепления

(118,6)

Опыт показывает, что уровень (параллельные векторы l и s) оказывается глубже уровня с ; это значит, что функция

Спин-орбитальная связь нуклона в ядре относительно слаба по сравнению с его взаимодействием с самосогласованным полем. В то же время оно оказывается, вообще говоря, большим по сравнению с энергией прямого взаимодействия двух нуклонов в ядре, в результате более быстрого убывания последнего с увеличением атомного веса.

Такое соотношение между энергиями различных взаимодействий приводит к тому, что классификация ядерных уровней должна происходить по типу -связи: спины и орбитальные моменты каждого нуклона складываются в полные моменты , оказывающиеся определенными величинами, поскольку связь между 1 и s не разрушается прямым взаимодействием частиц между собой (М. Goppert-Mayer, 1949; О. Haxel, J. Н. Jensen, Н. Е. Suess, 1949) ). Векторы j отдельных нуклонов складываются затем в суммарный момент ядра J (который обычно называют просто спином ядра, как если бы ядро представляло собой элементарную частицу). В этом отношении классификация ядерных уровней существенно отличается от классификации атомных уровней: в электронной оболочке атома релятивистская спин-орбитальная связь, вообще говоря, мала по сравнению с прямым электрическим и обменным взаимодействиями, и потому классификация уровней происходит обычно по типу -связи.

Состояние каждого нуклона в ядре характеризуется его моментом и его четностью. Хотя каждый из его векторов 1 и s в отдельности не сохраняется, но абсолютная величина орбитального момента нуклона тем не менее оказывается определенной. Действительно, момент может возникнуть либо из состояния с либо из состояния с . При заданном значении (полуцелом) оба эти состояния имеют разную четность а потому заданием и четности определяется и квантовое число l.

Состояния нуклонов с одинаковыми l и принято нумеровать (в порядке увеличения энергии) «главным квантовым числом» , пробегающим целые значения, начиная с 1. Различные состояния обозначают символами и т. п., где цифра перед буквой есть главное квантовое число, буквы указывают обычным образом значение l, а индекс у буквы — значение .

В состоянии с заданными значениями может одновременно находиться не более нейтронов и столько же протонов.

Характеристики состояния ядра в целом (при заданной конфигурации) принято записывать в виде цифры, дающей значение J, с индексом -f или указывающим четность состояния (последняя определяется в модели оболочек четностью или нечетностью алгебраической суммы значений l всех нуклонов).

В результате анализа экспериментальных данных о свойствах ядер оказывается возможным установить ряд закономерностей в расположении ядерных уровней.

Прежде всего оказывается, что энергия уровней нуклона возрастает с увеличением орбитального момента l. Это правило связано с тем, что с увеличением l возрастает центробежная энергия частицы, а потому уменьшается ее энергия связи.

Далее, при заданном значении уровень с (т. е. отвечающий параллельным векторам 1 и s) лежит глубже, чем уровень с . Это правило уже упоминалось выше в связи со свойствами спин-орбитальной связи нуклона в ядре.

Следующее правило относится к изотопическому спину ядер. Напомним, что проекция изоспина определяется уже весом и номером ядра (см. (116,1)). При заданном значении абсолютная величина изоспина может иметь любые значения, удовлетворяющие неравенству Обычно основное состояние ядра имеет наименьшее из этих допустимых значений изоспина, т. е.

(118,7)

Это правило связано с характером взаимодействия нейтрона с протоном, — с тем, что в системе пр состояние с изоспином (состояние нейтрона) имеет большую энергию связи, чем состояние с (см. примечание на стр. 557).

Можно также сформулировать некоторые правила, относящиеся к спинам основных состояний ядер. Эти правила определяют, каким образом моменты j отдельных нуклонов складываются в общий спин ядра. Они являются проявлением стремления протонов и нейтронов, находящихся в ядре в одинаковых состояниях, к попарному и пп) «спариванию» со взаимно противоположными моментами (энергия связи таких пар составляет величину порядка 1—2 МэВ).

Это явление приводит, например, к тому, что если ядро содержит четное число как протонов, так и нейтронов (четно-четные ядра), то моменты всех нуклонов попарно компенсируются, так что общий момент ядра обращается в нуль.

Если ядро содержит нечетное число протонов или нейтронов, причем все нуклоны сверх заполненных оболочек находятся в одинаковых состояниях, то обычно полный момент ядра совпадает с моментом одного нуклона — как если бы после спаривания всех возможных пар протонов и нейтронов оставался всего один нуклон с некомпенсированным моментом (полные же моменты заполненных оболочек автоматически равны нулю).

Для нечетно-нечетных же ядер (нечетные Z и N) нет какого-либо достаточно общего правила, определяющего спин основного состояния.

Рассмотрение конкретного хода заполнения оболочек в ядрах требовало бы детального анализа имеющихся экспериментальных данных и выходит за рамки этой книги. Мы ограничимся здесь лишь еще некоторыми общими указаниями.

При изучении свойств атомов мы видели, что электронные состояния в них можно разбить на группы такие, что при заполнении каждой из них и переходе к следующей энергия связи электрона падает. Аналогичная ситуация имеет место для ядер, причем нуклонные состояния распределяются по следующим группам:

(118,8)

Для каждой группы указано полное число протонных или нейтронных вакансий. Соответственно этим числам заполнение какой-либо из групп заканчивается, когда полное число протонов Z или нейтронов N в ядре равно одному из следующих чисел:

Эти числа принято называть магическими.

Особой устойчивостью обладают так называемые дважды магические ядра, в которых как Z, так и N являются магическими числами. По сравнению с близкими к ним ядрами они обладают аномально малым сродством к еще одному нуклону, а их первые возбужденные уровни лежат аномально высоко.

Различные состояния в каждой из групп (118,8) перечислены примерно в порядке их постепенного заполнения в ряду ядер. В действительности при этом заполнении наблюдаются значительные иррегулярности. Кроме того, надо иметь в виду, что в тяжелых ядрах (далеких от магических) расстояния между различными уровнями могут оказаться сравнимыми с «энергией спаривания»; в этих условиях само понятие индивидуальных состояний компонент пары в значительной степени теряет смысл.

Сделаем некоторые замечания по поводу вычисления магнитного момента ядра в модели оболочек. Говоря о магнитном моменте ядра, мы подразумеваем, естественно, магнитный момент, усредненный по движению частиц в ядре. Этот средний магнитный момент направлен, очевидно, вдоль спина ядра J, направление которого является единственным выделенным направлением в ядре; поэтому его оператор

(118,9)

где — ядерный магнетон, a g — гиромагнитный множитель. Собственное значение проекции этого момента Обычно под магнитным моментом , ядра понимают просто максимальное значение его проекции, т. е. с таким обозначением

(118,10)

Магнитный момент ядра складывается из магнитных моментов нуклонов, находящихся вне заполненных оболочек, поскольку моменты нуклонов в заполненных оболочках взаимно компенсируются. Каждый нуклон создает в ядре магнитный момент, складывающийся из двух частей; спиновой и (в случае протона) орбитальной, т. е. представляющийся суммой (Здесь и ниже мы опускаем множитель подразумевая, как это обычно делается, что магнитные моменты измерены в единицах ядерного магнетона.) Орбитальный и спиновый гиромагнитные множители равны: для протона и для нейтрона.

После усреднения по движению нуклона в ядре, его магнитный момент становится пропорциональным написав его в виде имеем

Умножив это равенство с обеих сторон на и переходя к собственным значениям, получим

а положив здесь , найдем

С указанными выше значениями гиромагнитных множителей это дает для магнитного момента протона :

и для магнитного момента нейтрона

(118,13)

Если вне заполненных оболочек имеется всего один нуклон, формулы (118,12) или (118,13) непосредственно дают магнитный момент ядра. Для двух нуклонов сложение их магнитных моментов тоже производится элементарно (см. задачу. В случае большего числа нуклонов усреднение магнитного момента должно производиться с помощью волновой функции системы, должным образом составленной из индивидуальных волновых функций нуклонов. Задание нуклонной конфигурации и состояния ядра в целом позволяют сделать это однозначным образом в тех случаях, когда данной конфигурации может соответствовать всего одно состояние системы с заданными значениями J и Т (см., например, задачу 3); в противном случае состояние ядра представляет собой смесь нескольких независимых состояний (с одинаковыми J, Т) и, вообще говоря, остаются неизвестными коэффициенты в линейной комбинации, дающей волновую функцию ядра

Наконец укажем, что наличие спин-орбитальной связи нуклонов в ядре приводит к появлению у протонов в ядре некоторого дополнительного (по отношению к (118,9)) магнитного момента (М. Goppert-Mayer, J. Н. Jensen, 1952). Дело в том, что при явной зависимости оператора взаимодействия от скорости частицы переход к случаю наличия внешнего поля совершается путем замены оператора импульса согласно .

Производя эту замену в (118,3) и воспользовавшись выражением (111,7) для векторного потенциала, найдем, что в гамильтониане протона появляется дополнительный член

Такой член эквивалентен возникновению дополнительного магнитного момента с оператором

Задачи

1. Определить магнитный момент системы двух нуклонов (с полным механическим моментом ). выразив его через магнитные моменты каждого из нуклонов.

Решение. Аналогично выводу формулы (118,11) получим

2. Найти возможные состояния системы трех нуклонов с моментами (и одинаковыми главными квантовыми числами).

Решение. Поступаем аналогично тому, как было сделано в § 67 при нахождении возможных состояний системы эквивалентных электронов. Каждый нуклон может находиться в одном из восьми состояний со следующими парами значений чисел

Комбинируя эти состояния по три различных, найдем следующие пары значений для системы трех нуклонов:

(цифра перед скобками указывает число соответствующих состояний; состояний с отрицательными значениями можно не выписывать). Им соответствуют состояния системы со следующими значениями чисел

3. Определить магнитный момент основного состояния конфигурации двух нейтронов и одного протона в состояниях (с одинаковыми ) с учетом изотопической инвариантности

Решение. Основное состояние такой конфигурации имеет , а по указанному в тексте правилу его изоспин имеет наименьшее возможное значение

Определим волновую функцию системы, соответствующую наибольшему возможному значению . Это значение может быть осуществлено (с учетом требований принципа Паули для двух одинаковых нуклонов) следующими тройками значений соответственно для нуклонов :

Поэтому искомая волновая функция является линейной комбинацией вида

где обозначает нормированное антисимметризованное произведение (т. е. определитель вида (61,5)) индивидуальных волновых функций нуклонов. Функция (1) должна обращаться в нуль при воздействии на нее операторов

(ср. задачу к § 67). Операторы W) превращают протонную функцию нуклона в нейтронную (а нейтронную функцию — в нуль). Легко видеть поэтому, что оператор обращает первый член в (1) в определитель с двумя одинаковыми строками, т. е. в нуль, а определители в трех остальных членах становятся одинаковыми; поэтому получаем условие b + с + d = 0. Далее, для отдельного нуклона с моментом и различными значениями имеем (согласно (27,12))

Отсюда легко найти, что при воздействии оператора на функцию (1) получается

(изменение знака некоторых членов связано с перестановкой строк определителя). Условие равенства этого выражения нулю дает

Вместе с условием нормировки функции (1) полученные соотношения дают

Учитывая, что среднее значение проекции магнитного момента протона (или нейтрона) в состоянии с данным есть найдем, что среднее значение момента системы, вычисленное с помощью волновой функции (1), равно

По формулам (118,12), (118,13) найдем, что для нуклона в состоянии . В результате

4. Определить магнитный момент ядра, в котором все нуклоны вне заполненных оболочек находятся в одинаковых состояниях, причем число протонов равно числу нейтронов.

Решение. Поскольку при N = Z проекция изоспина , то диагональные матричные элементы имеет только изотопически-скалярная часть ратора

(см. конец § 116), Выделяя эту часть в соответствии с формулой (116,5), найдем, что она равна

Поэтому полный средний магнитный момент ядра равен

5. Вычислить дополнительный магнитный момент нуклона с механическим моментом выразив его через величину спин-орбитального расщепления (118,6) {М. Goppert Mayer, J. H. Jensen, 1952).

Решение. Усреднение угловой части оператора (118,11) (выражение в фигурных скобках в (118,14); обозначим его как а) производится по формуле, полученной в задаче к § 29, и дает

С другой стороны, после полного усреднения по движению нуклона среднее значение а может быть направлено лишь по j, т. е. отсюда .

Произведя проецирование вектора (2) на j (причем надо учесть, что оператор коммутирует с и переходя к собственным значениям величин и т. п., получим, после простого вычисления, следующее выражение для дополнительного магнитного момента нуклона (в единицах ядерного магнетона):

( — масса нуклона; R — радиус ядра; при усреднении множитель заменен на ввиду быстрого убывания в глубь ядра). Среднее значение f в (3) может быть выражено через спин-орбитальное расщепление согласно (118,6).