§ 11. Матрицы

Предположим для удобства, что рассматриваемая система обладает дискретным энергетическим спектром (все получаемые ниже соотношения непосредственным образом обобщаются и на случай непрерывного спектра). Пусть есть разложение произвольной волновой функции по волновым функциям стационарных состояний. Если подставить это разложение в определение (3,8) среднего значения некоторой величины Д то получим

где обозначают интегралы

Совокупность величин со всеми возможными называют матрицей величины каждом из говорят как о матричном элементе, соответствующем переходу из состояния в состояние .

Зависимость матричных элементов от времени определяется (если оператор f не содержит t явно) зависимостью от времени функций Подставляя для них выражения (10,1), найдем, что

где

есть частота перехода между состояниями , а величины

составляют не зависящую от времени матрицу величины , которой обычно и приходится пользоваться.

Матричные элементы производной получаются дифференцированием по времени матричных элементов величины ; это следует непосредственно из того, что

Ввиду (11,3) имеем, таким образом, для матричных элементов :

или (сокращая с обеих сторон временной множитель ) для не зависящих от времени матричных элементов

В целях упрощения обозначений в формулах мы выводим ниже все соотношения для не зависящих от времени матричных элементов; в точности такие же соотношения имеют место и для зависящих от времени матриц.

Для матричных элементов комплексно сопряженной с величины с учетом определения сопряженного оператора получим

т. е.

Для вещественных физических величин, которые мы обычно только и рассматриваем, имеем, следовательно,

(11,10)

( стоит вместо ) Такие матрицы, как и соответствующие им операторы, называют эрмитовыми.

Матричные элементы с называют диагональными. Эти элементы вообще не зависят от времени, а из (11,10) ясно, что они вещественны. Элемент представляет собой среднее значение величины в состоянии

Нетрудно получить правило умножения матриц. Для этого заметим предварительно, что имеет место формула

(11.11)

Это есть не что иное, как разложение функции функциям с коэффициентами, определяемыми согласно общему правилу (3,5). Имея в виду эту формулу, пишем для результата воздействия на функцию произведения двух операторов:

Поскольку, с другой стороны, должно быть

то мы приходим к результату, что матричные элементы произведения определяются формулой

(11,12)

Это правило совпадает с принятым в математике правилом перемножения матриц: строки первой в произведении матрицы перемножаются со столбцами второй.

Задание матрицы эквивалентно заданию самого оператора. В частности, оно позволяет в принципе определить собственные значения данной физической величины и соответствующие им собственные функции.

Будем рассматривать значения всех величин в некоторый определенный момент времени и разложим произвольную волновую функцию (в этот момент времени) по собственным функциям гамильтониана, т. е. по не зависящим от времени волновым функциям стационарных состояний:

(11.13)

где коэффициенты разложения обозначены как . Подставим это разложение в уравнение , определяющее собственные значения и собственные функции величины Имеем

Умножим это уравнение с обеих сторон на 5 и проинтегрируем по Каждый из интегралов в левой стороне равенства есть соответствующий матричный элемент . В правой же стороне все интегралы исчезают в силу ортогональности функций в силу их нормировки:

или

где

Таким образом, мы получили систему алгебраических однородных уравнений первой степени (с неизвестными ). Как известно, такая система обладает отличными от нуля решениями лишь при условии обращения в нуль определителя, составленного из коэффициентов в уравнениях, т. е. при условии

(11,15)

Корни этого уравнения (в котором f рассматривается как неизвестное) и представляют собой возможные значения величины . Совокупность же величин , удовлетворяющих уравнениям (11,14) с равным какому-либо из этих значений, определяет соответствующую собственную функцию.

Если в определении (11,5) матричных элементов величины f взять в качестве собственные функции этой же величины, то в силу уравнения будем иметь

Ввиду ортогональности и нормировки функций это дает при и . Таким образом, оказываются отличными от нуля только диагональные матричные элементы, причем каждый из них равей соответствующему собственному значению величины о матрице, у которой отличны от нуля лишь эти элементы, говорят, как о приведенной к диагональному виду. В частности, в обычном представлении, с волновыми функциями стационарных состояний в качестве функций диагональна матрица энергии (а также матрицы всех других физических величин, которые имеют в стационарных состояниях определенные значения). Вообще, о матрице величины определенной с помощью собственных функций некоторого оператора g, говорят, как о матрице в представлении, в котором g диагонально. Везде, где это не оговорено особо, под матрицей физической величины мы будем в дальнейшем понимать матрицу в обычном представлении, в котором диагональна энергия. Все, что сказано выше о зависимости матриц от времени, относится, разумеется, только к этому обычному представлению.

С помощью матричного представления операторов можно доказать упомянутую в § 4 теорему: если два оператора коммутативны друг с другом, то они обладают общей полной системой собственных функций. Пусть будут два таких оператора. Из и правила умножения матриц (11,12) следует, что

Взяв в качестве системы функций с помощью которых вычисляются матричные элементы, собственные функции оператора f, будем иметь при , так что написанное равенство сведется к равенству или

Если все собственные значения величины различны, то при всех имеем так что должно быть Таким образом, матрица тоже оказывается диагональной, т. е. функции являются собственными функциями также и физической величины g. Если же среди значений есть одинаковые (т. е. если есть такие собственные значения, которым соответствуют по нескольку различных собственных функций), то соответствуюющие каждой такой группе функций матричные элементы окажутся, вообще говоря, отличными от нуля. Однако линейные комбинации функций соответствующих одному собственному значению величины тоже являются ее собственными функциями; можно всегда выбрать эти комбинации таким образом, чтобы обратить в нуль соответствующие недиагональные матричные элементы и, таким образом, мы и в этом случае получим систему функций, являющихся собственными функциями одновременно для операторов f и .

Отметим полезную в приложениях формулу

где — некоторый параметр, от которого зависит гамильтониан (а с ним и собственные значения энергии Действительно, продифференцировав уравнение () по Н и затем умножив его слева на получим

При интегрировании по левая сторона этого равенства обращается в нуль, поскольку

ввиду эрмитовости оператора Н.

Правая же сторона дает искомое равенство.

В современной литературе широко применяется система обозначений (введенная Дираком), в которой матричные элементы записываются как

(11,17)

Этот символ построен так, что его можно рассматривать как «составленный» из обозначения величины и символов , обозначающих соответственно начальное и конечное состояния как таковые (вне зависимости от того, в каком представлении используются волновые функции состояний). С помощью этих же символов «составляются» обозначения для коэффициентов разложения волновых функций: если мы имеем полный набор волновых функций, отвечающих состояниям , то коэффициенты разложения по ним волновой функции некоторого состояния обозначаются как

(11,18)