§ d. Вырожденная гипергеометрическая функция

Вырожденная гипергеометрическая функция определяется рядом

сходящимся при всех конечных ; параметр а произволен, а параметр у предполагается не равным нулю или целому отрицательному числу. Если а есть целое отрицательное число (или нуль), то сводится к полиному степени .

Функция удовлетворяет уравнению

в чем легко убедиться непосредственной проверкой. Подстановкой это уравнение преобразуется в уравнение того же вида

Отсюда видно, что при нецелом у уравнение имеет также частный интеграл , линейно независимый так что общее решение уравнения имеет вид

Второй член, в противоположность первому, имеет при особую точку.

Уравнение относится к типу Лапласа, и его решения могут быть представлены в виде контурных интегралов. Следуя общему методу, составляем функции

так что

Путь интегрирования должен быть выбран таким образом, чтобы госле его прохождения функция — возвращалась к исходному значению. Применяя тот же метод к уравнению (d,3), можно получить для и контурный интеграл другого вида

В этом интеграле удобно сделать подстановку , приводящую его к виду

причем соответствующая функция

Подынтегральное выражение в имеет, вообще говоря, две особые точки — при и при Выберем контур интегрирования С, приходящий из бесконечности обходящий обе особые точки в положительном направлении и уходящий снова на бесконечность (рис. 56).

Рис. 56

Этот контур удовлетворяет требуемым условиям, так как на его концах функция обращается в нуль. Интеграл взятый по контуру С, не имеет особой точки при поэтому он должен совпадать, с точностью до постоянного множителя, с не имеющей особенностей функцией . При обе особые точки подынтегрального выражения совпадают; согласно известной формуле теории Г-функций

Поскольку то очевидно, что

подынтегральное выражение имеет особые точки и . Если — не целое положительное число, то в качестве пути интегрирования можно выбрать контур С, выходящий из точки обходящий в положительном направлении точку и возвращающийся в (рис. 57); при в результате обхода вдоль такого контура функция возвращается к исходному значению нуль.

Определенный таким образом интеграл тоже не имеет особенности при и связан с посредством

По поводу интегралов (d,8), (d,9) надо сделать следующее замечание. При нецелых а и у подынтегральные выражения в них являются неоднозначными функциями. Их значения в каждой точке предполагаются выбранными условием, что возводимая в степень комплексная величина берется с наименьшим по нием аргумента.

Рис. 57

Отметим полезное соотношение

которое получается непосредственно, если сделать, в интеграле (d,8) подстановку .

Мы уже упоминали, что если где — целое положительное число, то функция сводится к полиному. Для этих полиномов можно получить короткую формулу. Делая в интеграле (d,9) подстановку и применяя к получившемуся интегралу формулу Коши, наедем следующую формулу

Если к тому же где — целое положительное число, то имеет место также и формула

Эта формула получается применением формулы Коши к интегралу, получающемуся из подстановкой

Полиномы совпадают, с точностью до постоянного множителя, с обобщенными, полиномами Лагерpa

Полиномы при обозначают, как , и называют просто полиномами Лагерра, согласно имеем

Интегральное представление удобно для получения асимптотического разложения вырожденной гипергеометрической функции при больших . Деформируем контур так, что он превращается в два контура (рис. 56), обходящих соответственно точки нижнюю ветвь пути и верхнюю ветвь надо представлять себе смыкающимися на бесконечности. Имея в виду получить разложение по обратным степеням , выносим в подынтегральном выражении за скобку. В интеграле по контуру делаем подстановку ; тем самым мы преобразуем контур в контур . В результате представляем формулу в виде

где

При возведении в степень в формуле и должны браться с наименьшим по абсолютной величине значением аргумента. Наконец, разлагая в подынтегральном выражении по степеням и применяя формулу ), получим в результате для асимптотический ряд

Формулами определяется асимптотическое разложение функции .

При целом положительном у второй член в общем решении уравнения либо совпадает с первым (если у = 1), либо теряет вовсе смысл (если . В качестве системы двух линейно независимых решений можно в этом случае выбрать два слагаемых в формуле , т. е. интегралы взятые по контурам (эти контуры, как и контур С, удовлетворяют требуемым условиям, так что интегралы вдоль них — тоже решения уравнения ). Асимптотический вид этшх решений определяется уже полученными формулами; остается найти их разложение по восходящим степеням . Для этого исходим из равенства и аналогичного равенства для функции .

Из этих двух равенств выражаем через , после чего полагаем ( — целое положительное число) и переходим к пределу раскрывая неопределенности по правилу Лопиталя. В результате довольно длинного вычисления получается следующее разложение:

где обозначает логарифмическую производную от Г-функции: .