Главная > Теоретическая физика. Т. III. Квантовая механика (нерелятивистская теория).
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ d. Вырожденная гипергеометрическая функция

Вырожденная гипергеометрическая функция определяется рядом

сходящимся при всех конечных ; параметр а произволен, а параметр у предполагается не равным нулю или целому отрицательному числу. Если а есть целое отрицательное число (или нуль), то сводится к полиному степени .

Функция удовлетворяет уравнению

в чем легко убедиться непосредственной проверкой. Подстановкой это уравнение преобразуется в уравнение того же вида

Отсюда видно, что при нецелом у уравнение имеет также частный интеграл , линейно независимый так что общее решение уравнения имеет вид

Второй член, в противоположность первому, имеет при особую точку.

Уравнение относится к типу Лапласа, и его решения могут быть представлены в виде контурных интегралов. Следуя общему методу, составляем функции

так что

Путь интегрирования должен быть выбран таким образом, чтобы госле его прохождения функция — возвращалась к исходному значению. Применяя тот же метод к уравнению (d,3), можно получить для и контурный интеграл другого вида

В этом интеграле удобно сделать подстановку , приводящую его к виду

причем соответствующая функция

Подынтегральное выражение в имеет, вообще говоря, две особые точки — при и при Выберем контур интегрирования С, приходящий из бесконечности обходящий обе особые точки в положительном направлении и уходящий снова на бесконечность (рис. 56).

Рис. 56

Этот контур удовлетворяет требуемым условиям, так как на его концах функция обращается в нуль. Интеграл взятый по контуру С, не имеет особой точки при поэтому он должен совпадать, с точностью до постоянного множителя, с не имеющей особенностей функцией . При обе особые точки подынтегрального выражения совпадают; согласно известной формуле теории Г-функций

Поскольку то очевидно, что

подынтегральное выражение имеет особые точки и . Если — не целое положительное число, то в качестве пути интегрирования можно выбрать контур С, выходящий из точки обходящий в положительном направлении точку и возвращающийся в (рис. 57); при в результате обхода вдоль такого контура функция возвращается к исходному значению нуль.

Определенный таким образом интеграл тоже не имеет особенности при и связан с посредством

По поводу интегралов (d,8), (d,9) надо сделать следующее замечание. При нецелых а и у подынтегральные выражения в них являются неоднозначными функциями. Их значения в каждой точке предполагаются выбранными условием, что возводимая в степень комплексная величина берется с наименьшим по нием аргумента.

Рис. 57

Отметим полезное соотношение

которое получается непосредственно, если сделать, в интеграле (d,8) подстановку .

Мы уже упоминали, что если где — целое положительное число, то функция сводится к полиному. Для этих полиномов можно получить короткую формулу. Делая в интеграле (d,9) подстановку и применяя к получившемуся интегралу формулу Коши, наедем следующую формулу

Если к тому же где — целое положительное число, то имеет место также и формула

Эта формула получается применением формулы Коши к интегралу, получающемуся из подстановкой

Полиномы совпадают, с точностью до постоянного множителя, с обобщенными, полиномами Лагерpa

Полиномы при обозначают, как , и называют просто полиномами Лагерра, согласно имеем

Интегральное представление удобно для получения асимптотического разложения вырожденной гипергеометрической функции при больших . Деформируем контур так, что он превращается в два контура (рис. 56), обходящих соответственно точки нижнюю ветвь пути и верхнюю ветвь надо представлять себе смыкающимися на бесконечности. Имея в виду получить разложение по обратным степеням , выносим в подынтегральном выражении за скобку. В интеграле по контуру делаем подстановку ; тем самым мы преобразуем контур в контур . В результате представляем формулу в виде

где

При возведении в степень в формуле и должны браться с наименьшим по абсолютной величине значением аргумента. Наконец, разлагая в подынтегральном выражении по степеням и применяя формулу ), получим в результате для асимптотический ряд

Формулами определяется асимптотическое разложение функции .

При целом положительном у второй член в общем решении уравнения либо совпадает с первым (если у = 1), либо теряет вовсе смысл (если . В качестве системы двух линейно независимых решений можно в этом случае выбрать два слагаемых в формуле , т. е. интегралы взятые по контурам (эти контуры, как и контур С, удовлетворяют требуемым условиям, так что интегралы вдоль них — тоже решения уравнения ). Асимптотический вид этшх решений определяется уже полученными формулами; остается найти их разложение по восходящим степеням . Для этого исходим из равенства и аналогичного равенства для функции .

Из этих двух равенств выражаем через , после чего полагаем ( — целое положительное число) и переходим к пределу раскрывая неопределенности по правилу Лопиталя. В результате довольно длинного вычисления получается следующее разложение:

где обозначает логарифмическую производную от Г-функции: .

1
Оглавление
email@scask.ru