§ 35. Падение частицы на центр

Для выяснения некоторых особенностей квантовомеханического движения полезно изучить случай, не имеющий, правда, непосредственного физического смысла, — движение частицы в поле с потенциальной энергией, обращающейся в некоторой точке (начале координат) в бесконечность по закону и вид поля вдали от начала координат нас не будет интересовать. Мы видели в § 18, что этот случай — как раз промежуточный между теми, когда имеются обычные стационарные состояния, и случаями, когда происходит «падение» частицы в начало координат.

Вблизи начала координат уравнение Шредингера в рассматриваемом случае будет следующим:

( — радиальная часть волновой функции), где введена постоянная

и опущены все члены более низкого порядка по значение энергии Е предполагается конечным, и потому соответствующий член в уравнении тоже опущен.

Ищем R в виде тогда получаем для s квадратное уравнение

с двумя корнями

Для дальнейшего исследования удобно поступить следующим образом. Выделим вокруг начала координат малую область радиуса и заменим функцию в этой области постоянной величиной

Определив волновые функции в таком «обрезанном» поле, мы затем посмотрим, что получается при переходе к пределу

Предположим сначала, что . Тогда — вещественные отрицательные числа, причем . При общее решение уравнения Шредингера имеет вид (речь идет везде о малых )

(А, В — постоянные). При решение уравнения

конечное в начале координат, имеет вид

При функция R и ее производная R должны быть непрерывными функциями. Удобно написать одно из условий в виде условия непрерывности логарифмической производной от Это приводит к уравнению

или

Решенное относительно отношения это уравнение дает выражение вида

(35,6)

Переходя теперь к пределу находим, что (напоминаем, что ). Таким образом, из двух расходящихся в начале координат решений уравнения Шредингера (35,1) должно быть выбрано то, которое обращается в бесконечность менее быстро:

(35,7)

Пусть теперь Тогда комплексны

Повторяя предыдущие рассуждения, снова придем к равенству (35.6), которое при подстановке значений дает

(35,8)

При это выражение не стремится ни к какому определенному пределу, так что прямой переход к пределу невозможен. С учетом (35,8) общий вид вещественного решения может быть написан следующим образом:

(35,9)

Эта функция обладает нулями, число которых неограниченно растет с уменьшением Поскольку, с одной стороны, выражение (35,9) справедливо для волновой функции (при достаточно малых ) при любом конечном значении энергии Е частицы, а, с другой стороны, волновая функция нормального состояния совсем не должна иметь нулей, то мы можем заключить, что «нормальное состояние» частицы в рассматриваемом поле соответствует энергии Но во всяком состоянии дискретного спектра частица находится в основном в области пространства, в которой Поэтому при частица находится в бесконечно малой области вокруг начала координат, т. е. происходит «падение» частицы на центр.

«Критическое» поле при котором становится возможным падение частицы на центр, соответствует значению . Наименьшее значение коэффициента при получается, когда т. е.

Из формулы (35,3) (для ) видно, что допускаемое решение уравнения Шредингера (вблизи точки, где ) расходится при не быстрее чем Если поле обращается при в бесконечность медленнее чем то в уравнении Шредингера в области вблизи начала координат можно вовсе пренебречь по сравнению с остальными членами, и мы получим те же решения, что и для свободного движения, т. е. (см. § 33). Наконец, если поле обращается в бесконечность быстрее чем (как то волновая функция вблизи начала координат пропорциональна (см. задачу к § 49). Во всех этих случаях произведение обращается при в нуль.

Далее, исследуем свойства решений уравнения Шредингера в поле, спадающем на больших расстояниях по закону при произвольном его виде на малых расстояниях. Предположим сначала, что . Легко видеть, что в этом случае может существовать лишь конечное число отрицательных уровней энергии.

Действительно, при энергии уравнение Шредингера на больших расстояниях имеет вид (35,1) с общим решением (35,4). Но функция (35,4) не имеет (при нулей; поэтому все нули искомой радиальной волновой функции лежат на конечных расстояниях от начала координат и их число, во всяком случае, конечно. Другими словами, порядковый номер уровня , замыкающего дискретный спектр, конечен.

Если же то дискретный спектр содержит бесконечное число отрицательных уровней энергии. Действительно, волновая функция состояния с имеет на больших расстояниях вид (35,9) с бесконечным числом нулей, так что ее порядковый номер во всяком случае бесконечен.

Наконец, пусть поле во всем пространстве. Тогда при происходит падение частицы. Если же то отрицательные уровни энергии отсутствуют вовсе. Действительно, волновая функция состояния с будет во всем пространстве вида (35,7); она не имеет вовсе нулей на конечных расстояниях, т. е. соответствует наиболее низкому (при данном ) уровню энергии.