§ 48. Правило квантования Бора — Зоммерфельда

Состояния, относящиеся к дискретному спектру энергии, квазиклассичны при больших значениях квантового числа п — порядкового номера состояния. Действительно, это число определяет число узлов собственной функции (см. § 21). Но расстояние между соседними узлами совпадает по порядку величины с дебройлевской длиной волны. При больших п это расстояние мало, так что длина волны мала по сравнению с размерами области движения.

Выведем условие, определяющее квантовые уровни энергии в квазиклассическом случае. Для этого рассмотрим финитное одномерное движение частицы в потенциальной яме; классически доступная область ограничена двумя точками поворота.

Согласно правилу (47,5) граничное условие в точке приводит (в области справа от нее) к волновой функции

Применив это же правило к области слева от точки получим ту же волновую функцию в виде

Для того чтобы эти два выражения совпадали во всей области, сумма их фаз (которая есть величина постоянная) должна быть целым кратным от :

(причем ). Отсюда

где интеграл взят по полному периоду классического движения частицы. Это и есть условие, определяющее в квазиклассическом случае стационарные состояния частицы. Оно соответствует правилу квантования Бора — Зоммерфельда старой квантовой теории.

Величина называется адиабатическим инвариантом (см. I, § 49), так что условие квантования (48,2) можно записать как

В § 41 уже упоминалось, что при достаточно медленном, «адиабатическом», изменении параметров система остается в том же квантовом состоянии, в данном случае в состоянии с некоторым . Мы видим, что в квазиклассическом пределе это утверждение совпадает с классической теоремой о постоянстве адиабатического инварианта при медленном изменении параметров.

Легко видеть, что целое число равно числу нулей волновой функции, а потому есть порядковый номер стационарного состояния.

Действительно, фаза волновой функции (48,1) растет от в точке до в точке так что косинус обращается в этом интервале в нуль раз (вне интервала а волновая функция затухает монотонно, не имея нулей на конечных расстояниях).

Согласно сказанному выше в квазиклассическом случае число велико. Подчеркнем, однако, что сохранение члена 1/2 рядом с в (48,2) тем не менее законно: учет следующих поправочных членов в фазе волновых функций привел бы к появлению в правой стороне (48,2) лишь членов малых по сравнению с 1 (см. замечание в конце § 46).

Для нормировки волновой функции достаточно интегрировать лишь в интервале , так как вне его экспоненциально затухает. Поскольку аргумент косинуса в (48,1) есть быстро меняющаяся функция, можно с достаточной точностью заменить квадрат косинуса его средним значением, т. е. 1/2. Тогда получим

где — частота классического периодического движения. Таким образом, нормированная квазиклассическая функция

Следует помнить, что частота — функция энергии и, вообще говоря, различна для разных уровней.

Соотношение (48,2) можно истолковать еще и другим образом.

Интеграл есть площадь, охватываемая замкнутой классической фазовой траекторией частицы (т. е. кривой в плоскости — фазовом пространстве частицы). Разделив эту площадь на клетки площадью каждая, мы получим всего клеток. Но есть число квантовых состояний с энергиями, не превышающими заданного ее значения (соответствующего рассматриваемой фазовой траектории). Таким образом, мы можем сказать, что в квазиклассическом случае каждому квантовому состоянию соответствует клетка в фазовом пространстве площадью

Иначе, число состояний, отнесенное к элементу объема фазового пространства, есть

Если ввести вместо импульса волновой вектор то это число напишется, как Оно совпадает, как и следовало ожидать, с известным выражением для числа собственных колебаний волнового поля (см. II, § 52).

Исходя из правила квантования (48,2) можно выяснить общий характер распределения уровней в энергетическом спектре. Пусть есть расстояние между двумя соседними уровнями, т. е. уровнями с отличающимися на единицу квантовыми числами . Поскольку мало (при больших ) по сравнению с самой энергией уровней, то на основании (48,2) можно написать

Но , так что

Поэтому получаем

Таким образом, расстояние между соседними уровнями оказывается равным Для целого ряда соседних уровней (разность номеров которых мала по сравнению с самими соответствующие частоты о можно приближенно считать одинаковыми. Поэтому мы приходим к выводу, что в каждом небольшом участке квазиклассической части спектра уровни расположены эквидистантно, через одинаковые интервалы Этот результат, впрочем, можно было ожидать заранее, так как в квазиклассическом случае частоты, соответствующие переходам между различными уровнями энергии, должны быть целыми кратными классической частоты .

Представляет интерес проследить, во что переходят в классическом пределе матричные элементы какой-либо физической величины . Для этого исходим из того, что среднее значение f в некотором квантовом состоянии в пределе должно перейти просто в классическое значение этой величины, если только само состояние в пределе дает движение частицы по определенной траектории. Такому состоянию соответствует волновой пакет (см. § 6), получающийся суперпозицией ряда стационарных состояний с близкими значениями энергии.

Волновая функция такого состояния имеет вид

где коэффициенты заметно отличны от нуля только, в некотором интервале значений квантового числа n - таком, что числа предполагаются большими соответственно квазиклассичности стационарных состояний. Среднее значение f равно, по определению,

или, заменив суммирование по , т. суммированием по и разности :

где написано в соответствии с (48,5).

Матричные элементы вычисленные с помощью квазиклассических волновых функций, быстро падают по величине с увеличением разности , являясь в то же время медленно меняющимися функциями самого числа (при заданном ). Ввиду этого приближенно можно написать

где введено обозначение

а — некоторое среднее значение квантового числа в интервале Но поэтому

Получившаяся сумма имеет вид обычного ряда Фурье. Поскольку f должно в пределе совпадать с классической величиной то мы приходим к результату, что матричные элементы в пределе переходят в компоненты разложения классической функции в ряд Фурье.

Аналогично, матричные элементы для переходов между состояниями непрерывного спектра переходят в компоненты разложения в интеграл Фурье. При этом волновые функции стационарных состояний должны быть нормированы на -функцию от энергии, деленной на .

Все изложенные результаты непосредственно обобщаются на системы со многими степенями свободы, совершающие финитное движение, для которого механическая (классическая) задача допускает полное разделение переменных в методе Гамильтона—Якоби (так называемое условно-периодическое движение, см. I, § 52). После разделения переменных для каждой степени свободы задача сводится к одномерной и соответствующие условия квантования имеют вид

где интеграл берется по периоду изменения обобщенной координаты а — число порядка единицы, зависящее от характера граничных условий для данной степени свободы.

В общем случае произвольного (не условно-периодического) многомерного движения формулировка квазиклассических условий квантования требует более глубоких рассуждений. Понятие же о «клетках» в фазовом пространстве применимо (в квазиклассическом приближении) всегда в одинаковом виде. Это ясно из отмеченной выше его связи с числом собственных колебаний волнового поля в заданном объеме пространства. В общем случае системы с s степенями свободы на элемент объема фазового пространства приходится

квантовых состояний.

Задачи

1. Определить (приближенно) число дискретных уровней энергии частицы, движущейся в поле , удовлетворяющем условию квазиклассичности.

Решение. Число состояний, «приходящихся» на объем фазового пространства, соответствующий импульсам в интервале и координатам частицы в элементе объема равно

При заданном частица может обладать (в своем классическом движении) импульсом, удовлетворяющим условию , Подставляя , получим полное число состояний дискретного спектра

где интегрирование производится по той области пространства, в которой . Этот интеграл расходится (число уровней бесконечно), если U убывает на бесконечности, как в согласии с результатами § 18.

2. То же в квазиклассическом центрально-симметричном поле (В. Л. Покровский).

Решение. В центрально-симметричном поле число состояний не совпадает с числом уровней энергии ввиду вырождения последних по направлениям момента. Искомое число можно найти, заметив, что число уровней с заданным значением момента М совпадает с числом уровней (невырожденных) для одномерного движения в поле с потенциальной энергией Максимальное возможное значение импульса при данном и энергиях есть Поэтому число состояний (т. е. число уровней) равно

Искомое полное число дискретных уровней получается отсюда интегрированием по (заменяющим в квазиклассическом случае суммирование по О и равно