§ 143. Неупругое рассеяние медленных частиц

Изложенный в § 132 вывод предельного закона упругого рассеяния при малых энергиях легко обобщается на случай наличия неупругих процессов.

Как и прежде, основную роль при малых энергиях играет рассеяние с . Напомним, что, согласно полученным в § 132 результатам, соответствующий элемент -матрицы был равен

Использованные в § 132 свойства волновой функции меняются только в том отношении, что налагаемое на нее условие на бесконечности (асимптотический вид (142,1)) теперь комплексно вместо вещественной стоячей волны в случае чисто упругого рассеяния. В связи с этим оказывается комплексной и постоянная При этом модуль уже не равен единице; условие означает, что мнимая часть должна быть отрицательна .

Подставив в (142,7), найдем сечения упругого и неупругого рассеяний

(143,1)

Таким образом, сечение упругого рассеяния по-прежнему не зависит от скорости. Сечение же неупругих процессов оказывается обратно пропорциональным скорости частиц — так называемый закон (Н. A. Beihe, 1935). Следовательно, при уменьшении скорости роль неупругих процессов по сравнению с упругим рассеянием возрастает.

Предельные законы (143,1) и (143,2) являются, конечно, лишь первыми членами разложения сечений по степеням k. Интересно, что следующий член разложения в обоих этих сечениях не содержит никаких новых постоянных, помимо фигурирующих в (143,1), (143,2) величин (Ф. Л. Шапиро, 1958). Это обстоятельство является следствием четности функции в выражении (142,13) парциальной амплитуды рассеяния При малых k эта функция разлагается, следовательно, по четным степеням k, так что следующим за будет член Пренебрегая этим членом, мы имеем право написать все же в два члена разложения . Соответственно можно сохранить следующие члены разложения и в сечениях, для которых легко получить следующие выражения:

(143,3)

Полученные результаты предполагают достаточно быстрое убывание взаимодействия на больших расстояниях. Мы видели в § 132, что амплитуда упругого рассеяния стремится при 0 к постоянному пределу, если поле убывает быстрее, чем Это условие требуется и для справедливости аналогичного закона (143,1) при наличии неупругих каналов.

Закон же для сечения реакции требует выполнения более слабого условия поле должно убывать быстрее, чем что ясно из следующего наглядного обоснования этого закона.

Вероятность осуществления реакции при столкновении пропорциональна квадрату модуля волновой функции падающей частицы в «зоне реакции» (в области ). Физически это утверждение выражает собой тот факт, что, например, сталкивающийся с ядром медленный нейтрон может вызвать реакцию, лишь «проникнув» в ядро. Если взаимодействие убывает быстрее, чем то на пути от больших до а оно не меняет порядка величины волновой функции; другими словами, отношение стремится при к конечному пределу (это видно из того, что в уравнении Шредингера член оказывается малым по сравнению с ). Сечение реакции получится делением на плотность потока. Взяв в виде плоской волны, нормированной на единичную плотность потока, имеем т. е. искомый результат.

При столкновении заряженных ядерных частиц, наряду с короткодействующими ядерными силами, имеется также медленно убывающее кулоново поле. Это поле может существенно изменить величину падающей волны в зоне реакции. Сечение реакции получится умножением на отношение квадратов модулей кулоновой и свободной волновых функций (при ); это отношение дается формулами (136,10), (136,11). Таким образом, получим (в кулоновых единицах)

(143,5)

знак плюс в показателе соответствует отталкиванию, а знак минус притяжению. Коэффициент А есть постоянная закона если скорость велика по сравнению с кулоновой единицей то кулоново взаимодействие не играет роли, и мы возвращаемся к закону

Если же скорость мала по сравнению с кулоновой единицей (, т. е. в обычных единицах где — заряды сталкивающихся частиц), то кулоново взаимодействие играет доминирующую роль в определении величины волновой функции в зоне реакции. Для столкновения притягивающихся частиц имеем при этом

(143,6)

а для столкновения отталкивающихся частиц

(143,7)

В последнем случае сечение стремится к нулю при . Экспоненциальный множитель, отличающий (143,7) от (143,6), есть вероятность прохождения через кулоновский потенциальный барьер; в обычных единицах он имеет вид

Отметим, что предельный закон (143,6) относится не только к полному, но и к парциальным сечениям с каждым моментом I. Это видно из того, что в разложении (136,1) функций (фигурирующих в использованных нами формулах (136,10), (136,11)) во всех членах суммы функции имеют одинаковую предельную зависимость от k. Действительно, в пределе радиальные функции (в случае притяжения) даются выражениями (36,25) и вблизи центра имеем Вклады отдельных моментов в квадрат волновой функции в зоне реакции т. е. одинаково зависят от k, хотя и ослабляются малым множителем — кулонова единица длины).