Главная > Теоретическая физика. Т. III. Квантовая механика (нерелятивистская теория).
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 94. Представления групп

Рассмотрим какую-либо группу симметрии, и пусть есть некоторая однозначная функция координат (в конфигурационном пространстве данной физической системы). При преобразовании системы координат, соответствующем элементу G группы, эта функция перейдет в некоторую другую функцию. Производя поочередно все g преобразований группы (g — порядок группы), мы получим из в общем случае g различных функций. При определенных выборах некоторые из этих функций могут, однако, оказаться линейно-зависимыми. В результате мы получим некоторое число линейно-независимых функций которые при преобразованиях симметрии, входящих в рассматриваемую группу, преобразуются линейно друг через друга. Другими словами, в результате преобразования G каждая из функций переходит в линейную комбинацию вида

где — постоянные, зависящие от преобразования G.

О совокупности этих постоянных говорят, как о матрице преобразования.

В этой связи удобно рассматривать элементы G группы как операторы, воздействующие на функции, так что можно будет написать

Функции всегда можно выбрать таким образом, чтобы они были взаимно ортогональны и нормированы. Тогда понятие о матрице преобразования совпадает с понятием о матрице оператора в том виде, как оно было определено в § 11

Произведению двух элементов G и Н группы соответствует матрица, определяющаяся по матрицам G и Н с помощью обычного правила перемножения матриц (11, 12)

О совокупности матриц всех элементов группы говорят, как о представлении группы. Функции же с помощью которых определены эти матрицы, называют базисом представления. Число f этих функций определяет размерность представления.

Рассмотрим интегралы . Поскольку интегрирование производится по всему пространству, то очевидно, что при любом повороте или отражении системы координат значения интегралов не изменятся. Другими словами, преобразования симметрии не нарушают ортонормированности функций базиса, а это значит (см. § 12), что операторы G унитарны 2). Соответственно унитарны и матрицы, представляющие элементы группы в представлении с ортонормированным базисом.

Произведя над функциями линейное унитарное преобразование

мы получим новую систему функций которые тоже будут ортонормированы (см. § 12).

Взяв в качестве базиса представления функции мы будем иметь новое представление той же размерности. Такие представления, которые получаются друг из друга путем линейного преобразования функций из базиса, называются эквивалентными, они, очевидно, не являются существенно различными.

Матрицы эквивалентных представлений связаны друг с другом простым соотношением: согласно (12,7) матрица оператора в новом представлении равна матрице оператора

в старом представлении.

Сумма диагональных элементов (т. е. след) матрицы, представляющей элемент G группы, называется ее характером; мы будем обозначать характеры посредством Очень существенно, что характеры матриц эквивалентных представлений совпадают (см. (12,11)). Это обстоятельство придает особую важность описанию представления группы с помощью задания его характеров; оно позволяет сразу отличать существенно различные представления от представлений эквивалентных. Ниже мы будем говорить как о различных лишь о неэквивалентных представлениях.

Если понимать под S в (94,5) элемент группы, связывающий сопряженные элементы G и G, то мы придем к результату, что в каждом данном представлении группы характеры матриц, представляющих элементы одного класса, одинаковы.

Единичному элементу группы Е соответствует тождественное преобразование. Поэтому представляющая его матрица во всяком представлении диагональна, причем диагональные элементы равны единице. Характер равен, следовательно, просто размерности представления

Рассмотрим некоторое представление размерности f. Может оказаться, что в результате соответствующего линейного преобразования (94,4) функции базиса разбиваются на наборы по функций таким образом, что при воздействии всех элементов группы функции каждого набора преобразуются только друг через друга, не затрагивая функций из других наборов.

В таком случае говорят, что данное представление приводимо.

Если же число преобразующихся друг через друга функций базиса не может быть уменьшено никаким их линейным преобразованием, то осуществляемое ими представление называется неприводимым. Всякое приводимое представление может быть, как говорят, разложено на неприводимые представления. Это значит, что соответствующим линейным преобразованием функции базиса разбиваются на ряд наборов, из которых каждый преобразуется при воздействии элементов группы по какому-либо неприводимому представлению. При этом может оказаться, что несколько различных наборов преобразуется по одному и тому же неприводимому представлению; в таком случае говорят, что это неприводимое представление содержится в приводимом соответствующее число раз.

Неприводимые представления являются существенной характеристикой группы и играют основную роль во всех квантовомеханических применениях теории групп. Укажем главные свойства неприводимых представлений

Можно показать, что число различных неприводимых представлений группы равно числу классов в группе. Мы будем отличать характеры различных неприводимых представлений верхними индексами; характеры матриц элемента G в различных представлениях будут

Матричные элементы неприводимых представлений удовлетворяют ряду соотношений ортогональности. Прежде всего для двух различных неприводимых представлений имеют место соотношения

где отличают два неприводимых представления, а суммирование производится по всем элементам группы. Для каждого же неприводимого представления имеют место соотношения

(94,8)

т. е. отличны от нуля лишь суммы квадратов модулей матричных элементов

Соотношения (94,7)-(94,8) можно записать вместе в виде

В частности, отсюда можно получить важное соотношение ортогональности для характеров представлений; суммируя обе стороны равенства (94,9) по парам индексов , получим

(94,10)

При имеем

— сумма квадратов модулей характеров неприводимого представ ления равна порядку группы. Заметим, что этим соотношением можно пользоваться как критерием неприводимости представления — для приводимого представления эта сумма во всяком случае больше g (так она равна если представление содержит в себе неприводимых частей, которые все различны между собой).

Из (94,10) следует также, что равенство характеров двух неприводимых представлений является не только необходимым, но и достаточным условием их эквивалентности.

Поскольку характеры, относящиеся к элементам одного класса, одинаковы, то в сумме (94,10) в действительности имеется всего независимых членов, и ее можно переписать в виде

(94,11)

где суммирование производится по классам группы (обозначаемым условно буквами С), — число элементов в классе С.

Поскольку число неприводимых представлений совпадает с числом классов, то величины образуют квадратную матрицу величин.

Из имеющих место соотношений ортогональности по первому индексу автоматически следуют тогда соотношения ортогональности по второму индексу: Поэтому наряду с (94,11) имеют место формулы

(94,12)

Среди неприводимых представлений всякой группы всегда имеется одно тривиальное, осуществляющееся одной функцией базиса, инвариантной по отношению ко всем преобразованиям группы.

Это одномерное представление называется единичным; все характеры в нем равны единице. Если в соотношении ортогональности (94,10) или (94,11) одно из представлений — единичное, то для другого получим

(94,13)

т. е. сумма характеров всех элементов группы для всякого неединичного представления равна нулю.

Соотношение (94,10) позволяет очень просто произвести разложение всякого приводимого представления на неприводимые, если известны характеры тех и других.

Пусть — характеры некоторого приводимого представления размерности f, и пусть числа показывают, сколько раз содержатся в нем соответствующие неприводимые представления, так что

(94,14)

— размерности неприводимых представлений). Тогда характеры можно написать в виде

(94,15)

Умножая это равенство на и суммируя повеем G, получим в силу (94,10)

(94,16)

Рассмотрим представление размерности , осуществляемое g функциями где есть некоторая функция координат общего вида (так что все получающиеся из нее g функций линейно независимы); такое представление называется регулярным. Ясно, что все матрицы этого представления не будут содержать вовсе диагональных элементов, за исключением только матрицы, соответствующей единичному элементу; поэтому будет при и . Разлагая это представление на неприводимые, получим, согласно (94,16), для чисел значения т. е. каждое неприводимое представление содержится в рассматриваемом приводимом число раз, равное его размерности. Подставив это в (94,14), найдем соотношение

(94,17)

сумма квадратов размерностей неприводимых представлений группы равна ее порядку

Отсюда следует, в частности, что у абелевых групп (где ) все неприводимые представления одномерны

Укажем также, без доказательства, что размерности неприводимых представлений группы являются делителями ее порядка.

Фактическое разложение регулярного представления на неприводимые части осуществляется формулой

Легко проверить, что функции определяемые этой формулой при заданном значении k, преобразуются друр через друга согласно

т. е. являются базисом неприводимого представления. Давая k различные значения, получим, таким образом, различных наборов базисных функций для одного и того же неприводимого представления, в соответствии с тем, что каждое неприводимое представление входит в регулярное представление раз.

Произвольную функцию можно представить в виде суммы функций, преобразующихся по неприводимым представлениям группы. Эта задача решается формулами

(94,19)

Для доказательства подставим вторую формулу в первую и, произведя суммирование по , получим

(94,20)

Заметив, что размерности совпадают с характерами единичного элемента группы, и воспользовавшись соотношением ортогональности (94,12), найдем, что сумма отлична от нуля (и равна g), лишь если G — единичный элемент группы. Поэтому правая сторона (94,20) тождественно совпадает с Рассмотрим две различные системы функций и осуществляющие два неприводимых представления группы.

Составляя произведения мы получим систему новых функций, которые могут служить базисом нового представления размерности . Это представление называется прямым (или кронекеровским) произведением первых двух; оно неприводимо, лишь если по крайней мере одно из или равно единице. Легко видеть, что характеры прямого произведения равны произведениям характеров обоих составляющих представлений. Действительно, если

то

отсюда для характеров, которые обозначим как получим

(94,21)

т. е.

Оба перемножаемые неприводимые представления могут, в частности, совпадать; в этом случае мы имеем два различных набора функций осуществляющих одно и то же представление, а прямое произведение представления само на себя осуществляется функциями и имеет характеры

Это приводимое представление можно сразу разбить на два представления меньшей размерности (но, вообще говоря, все еще приводимые). Одно из них осуществляется функциями ; а другое функциями (очевидно, что функции каждого из этих наборов преобразуются только друг через друга). Первое называется симметричным произведением представления само на себя (его характеры обозначаются символом ), а второе — антисимметричным произведением (его характеры обозначаются символом ).

Для определения характеров симметричного произведения пишем

Отсюда имеем для характера

Но

таким образом, окончательно получим формулу

(94,22)

позволяющую определить характеры симметричного произведения представления самого на себя по характерам исходного представления. Совершенно аналогичным образом найдем для характеров антисимметричного произведения формулу 1)

(94,23)

Если функции совпадают, то с их помощью можно, очевидно, определить лишь симметричное произведение, осуществляемое квадратами и произведениями . В применениях приходится встречаться и с симметричными произведениями более высоких степеней; их характеры можно получить аналогичным образом.

Отметим важное для дальнейшего свойство прямых произведений. Разложение прямого произведения двух различных неприводимых представлений на неприводимые части содержит единичное представление (причем один только раз), лишь если перемножаемые представления являются комплексно сопряженными. В случае вещественных представлений единичное представление содержится лишь в прямом произведении неприводимого представления самого на себя (причем, очевидно, в его симметричной части). Действительно, чтобы узнать, содержится ли в представлении (94,21) единичное представление, надо (согласно (94,16)) просто просуммировать его характеры по G (и разделить результат на порядок группы g). Сделанное утверждение следует тогда прямо из соотношений ортогональности (94,10).

Наконец, сделаем несколько замечаний о неприводимых представлениях группы, являющейся прямым произведением двух других групп (не смешивать с прямым произведением двух представлений одной и той же группы!). Если функции осуществляют неприводимое представление группы А, а функции — то же для группы В, то произведения будут базисом -мерного представления группы А X В, причем представления неприводимого.

Характеры этого представления получаются перемножением соответствующих характеров исходных представлений (ср. вывод формулы (94,21)); элементу группы соответствует характер

(94,24)

Перемножив, таким образом, друг с другом все неприводимые представления групп А и В, мы получим все неприводимые представления группы .

1
Оглавление
email@scask.ru