§ 139. Упругие столкновения быстрых электронов с атомами

Упругие столкновения быстрых электронов с атомами могут быть рассмотрены с помощью борновского приближения, если скорость падающего электрона великапо сравнению со скоростями атомных электронов.

Ввиду большой разницы в массах между электроном и атомом последний можно считать при столкновении неподвижным, и система координат, в которой неподвижен центр инерции, совпадает с системой, в которой неподвижен атом. Тогда в формуле (126,7) обозначают импульсы электрона до и после столкновения, m — масса электрона, а угол совпадает с углом Ф отклонения электрона. Потенциальная же энергия в формуле (126,7) требует должного определения.

В § 126 мы вычисляли матричный элемент энергии взаимодействия по отношению к волновым функциям свободной частицы до и после столкновения. При столкновении с атомом необходимо учитывать также и волновые функции, описывающие внутреннее состояние атома. При упругом рассеянии состояние атома не меняется. Поэтому должно быть определено как матричный элемент по отношению к волновым функциям электрона, диагональный по отношению к волновой функции атома. Другими словами, U в формуле (126,7) надо понимать как потенциальную энергию взаимодействия электрона с атомом, усредненную по волновой функции последнего. Она равна , где — потенциал поля, создаваемый в точке средним распределением зарядов в атоме.

Обозначив плотность распределения зарядов в атоме посредством , имеем для потенциала уравнение Пуассона

Искомый матричный элемент есть в основном компонента Фурье от U (т. е. от ), соответствующая волновому вектору Применив уравнение Пуассона к каждой из компонент Фурье в отдельности, имеем

откуда т. е.

(139,1)

Плотность зарядов составляется из электронных зарядов и заряда ядра:

где — плотность электронного заряда в атоме. Умножив на и интегрируя, имеем

Таким образом, получаем для интересующего нас интеграла выражение

(139,2)

где величина определяется формулой

(139,3)

и называется атомным формфактором. Он является функцией угла рассеяния, а также скорости падающего электрона.

Наконец, подставив (139,2) в (126,7), получим окончательно следующее выражение для сечения упругого рассеяния быстрых электронов атомом

(139,4)

Рассмотрим предельный случай где — порядок величины размеров атома. Малым q соответствуют малые углы рассеяния: где Щтай — порядок величины скоростей атомных электронов.

Разложим в ряд по степеням q. Член нулевого порядка равен т. е. полному числу Z электронов в атоме. Член первого порядка пропорционален , т. е. среднему значению дипольного момента атома; это значение обращается тождественно в нуль (§ 75). Поэтому надо произвести разложение до члена второго порядка, что дает

подставив в (139,4), получим

(139,5)

Таким образом, в области малых углов сечение оказывается не зависящим от угла рассеяния и определяется средним квадратом расстояния атомных электронов от ядра.

В обратном предельном случае больших множитель в подынтегральном выражении в (139,3) есть быстро осциллирующая функция, и потому весь интеграл близок к нулю. Можно, следовательно, пренебречь по сравнению с Z; тогда остается

т. е. резерфордовское сечение рассеяния на ядре атома. Вычислим также транспортное сечение

(139,7)

В области углов имеем, согласно (139,5),

где const не зависит от Ф. Поэтому в этой области подынтегральное выражение в рассматриваемом интеграле пропорционально так что на нижнем пределе интеграл быстро сходится. В области же имеем

подынтегральное выражение пропорционально , т. е. интеграл (139,7) расходится логарифмически.

Отсюда видно, что основную роль в интеграле играет именно эта область углов и можно ограничиться интегрированием только по ней. Нижний предел интегрирования должен быть взят порядка напишем его в виде , где — безразмерная постоянная. В результате получим следующую формулу:

(139,8)

Точное вычисление постоянной у требует рассмотрения рассеяния на углы и не может быть произведено в общем виде; слабо зависит от значения этой постоянной, поскольку ока входит под знаком логарифма, умноженная на большую величину .

Для численного определения формфактора тяжелых атомов можно пользоваться распределением Томаса—Ферми плотности . Мы видели, что в модели Томаса—Ферми имеет вид

(все величины в этой и следующих формулах измеряются в атомных единицах). Легко видеть, что интеграл (139,3), вычисленный с такой функцией , будет содержать q лишь в определенной комбинации с

(139,9)

В табл. 11 приведены значения универсальной для всех атомов функции .

С атомным формфактором (139,9) сечение (139,4) будет иметь вид

(139,10)

Таблица 11. Атомный фактор по Томасу—Ферми

где новая универсальная функция. Интегрированием можно получить полное сечение. В интеграле основную роль играет область малых Поэтому можно написать

а интегрирование по распространить до бесконечности;

Таким образом, о имеет вид

(139,11)

Аналогичным сбразом легко убедиться в том, что постоянная у в формуле (139,8) будет пропорциональна

Задача

Вычислить сечение упругого рассеяния быстрых электронов атомом водорода в основном состоянии.

Решение. Волновая функция нормального состояния атома водорода есть (в атомных единицах), так что Интегрирование в (139,3) по углам производится как при выводе формулы (126,12) и дает

Подставив в (139,4), получим

где Для вычисления полного сечения пишем

и интегрируем по от 0 до поскольку, однако, о предполагается большим, а интеграл сходится, верхний предел можно заменить бесконечностью.

В результате получим

Транспортное сечение вычисляется как интеграл

Заменив переменную интегрирования, согласно и заменив везде, кроме члена верхний предел бесконечностью, получим

в соответствии с (139,8).