§ 9. Дифференцирование операторов по времени

Понятие о производной физической величины по времени не может быть определено в квантовой механике в том смысле, какой оно имеет в классической механике. Действительно, определение производной в классической механике связано с рассмотрением значений величины в два близких, «о различных момента времени. Но в квантовой механике величина, имеющая в некоторый момент времени определенное значение, не имеет в следующие моменты вообще никакого определенного значения; подробнее об этом шла речь в § 1.

Поэтому понятие производной по времени должно быть определено в квантовой механике иным образом. Естественно определить производную от величины как величину, среднее значение которой равно производной по времени от среднего значения . Таким образом, имеем, по определению,

Исходя из этого определения, нетрудно получить выражение для квантовомеханического оператора , соответствующего величине :

Здесь есть оператор, получающийся дифференцированием оператора f по времени, от которого последний может зависеть, как от параметра. Подставляя для производных их выражения согласно (8,1), получим

Поскольку оператор H эрмитов, то

таким образом имеем

Поскольку, с другой стороны, должно быть, по определению средних значений, , то отсюда видно, что выражение, стоящее в скобках под интегралом, представляет собой искомый оператор :

Если оператор f не зависит от времени явно, то сводится, с точностью до множителя, к коммутатору оператора f с гамильтонианом.

Очень важной категорией физических величин являются те, операторы которых не зависят явно от времени и, кроме того, коммутативны с гамильтонианом, так что Такие величины называют сохраняющимися. Для них . Другими словами, среднее значение величины остается постоянным во времени. Можно также утверждать, что если в данном состоянии величина имеет определенное значение (т. е. волновая функция является собственной функцией оператора f), то и в дальнейшие моменты времени она будет иметь определенное — то же самое — значение.