§ 29. Матричные элементы секторов

Рассмотрим снова замкнутую систему частиц, и пусть f есть любая характеризующая ее скалярная физическая величина, а f — соответствующий этой величине оператор. Всякий скаляр инвариантен по отношению к повороту системы координат. Поэтому скалярный оператор f не меняется под влиянием операции поворота, т. е. коммутирует с оператором поворота. Но мы знаем, что оператор бесконечно малого поворота с точностью до постоянного множителя совпадает с оператором момента, так что

Из коммутативности f с оператором момента следует, что матрица величины по отношению к переходам между состояниями с определенными значениями L и М диагональна по этим индексам. Более того, поскольку задание числа М определяет лишь ориентацию системы по отношению к координатным осям, а значение скалярной величины от этой ориентации вообще не зависит, то можно утверждать, что матричные элементы не зависят от значения М (буквой условно обозначена совокупность всех остальных, помимо L и М, квантовых чисел, определяющих состояние системы).

Формальное доказательство этого утверждения можно получить, воспользовавшись коммутативностью операторов :

Напишем матричный элемент этого равенства для перехода . Учитывая, что матрица величины имеет только элементы с , находим

и поскольку матричные элементы не зависят от индекса , то

(29,3)

откуда следует, что вообще все различными М (и одинаковыми остальными индексами) равны между собой.

Если применить этот результат к самому гамильтониану, то мы получим известную уже нам независимость энергии стационарных состояний от М, т. е. -кратное вырождение энергетических уровней.

Пусть, далее, А — некоторая векторная физическая величина, характеризующая замкнутую систему. При повороте системы координат (в частности, бесконечно малом повороте, т. е. при воздействии оператора момента) компоненты вектора преобразуются друг через друга. Поэтому и в результате коммутирования операторов с операторами должны получиться вновь компоненты того же вектора Какие именно — можно найти, замечая, что в частном случае, когда А есть радиус-вектор частицы, должны получиться формулы (26,4). Таким образом, находим правила коммутации:

Эти соотношения позволяют получить ряд результатов относительно формы матриц компонент вектора А (М. Борн, В. Гейзенберг, П. Иордан, 1926). Прежде всего оказывается возможным найти правила отбора, определяющие, для каких переходов матричные элементы могут быть отличны от нуля. Мы, однако, не станем приводить здесь соответствующих, довольно громоздких, вычислений, поскольку в дальнейшем выяснится (§ 107), что эти правила являются в действительности непосредственным следствием общих трансформационных свойств векторных величин и могут быть получены из них по существу без всяких вычислений. Здесь же мы приведем эти правила без вывода.

Матричные элементы всех компонент вектора могут быть отличны от нуля только для таких переходов, в которых момент L меняется не более чем на единицу:

Кроме того, имеет место дополнительное правило отбора, запрещающее переходы между всякими двумя состояниями с L = 0; это правило является очевидным следствием полной сферической симметрии состояний с равным нулю моментом.

Правила отбора по проекции момента М различны для разных компонент вектора. Именно, могут быть отличны от нуля матричные элементы для переходов со следующими изменениями значения

Далее, оказывается возможным определить в общем виде зависимость матричных элементов вектора от числа М. Эти важные, часто используемые формулы мы приведем здесь тоже без вывода, поскольку и они являются в действительности частным случаем более общих (относящихся к любым тензорным величинам) соотношений, которые будут получены в § 107.

Отличные от нуля матричные элементы величины определяются следующими формулами:

Здесь символ

обозначает так называемые приведенные матричные элементы — величины, не зависящие от квантового числа М.

Они связаны друг с другом соотношениями

непосредственно следующими из эрмитовости оператора

Через те же приведенные элементы выражаются матричные элементы величин Отличные от нуля матричные элементы равны

Матричные элементы не требуют особых формул, поскольку в силу вещественности имеем

Отметим формулу, выражающую матричные элементы скаляра АВ через приведенные матричные элементы двух векторных величин А и В. Вычисление удобно производить, представив оператор АВ в виде

(29,11)

Матрица величины АВ (как и всякого скаляра) диагональна по b и М. Вычисление с помощью (29,7)-(29,9) приводит к результату

(29,12)

где пробегает значения L, L ± 1.

Выпишем, для справок, приведенные матричные элементы для самого вектора L. Из сравнения формул (29,9) и (27,12) находим

(29,13)

Часто встречающейся в применениях величиной является единичный вектор в направлении радиуса-вектора частицы; найдем его приведенные матричные элементы. Для этого достаточно вычислить, например, матричные элементы от при равной нулю проекции момента: Имеем

с функциями из (28,11). Вычисление интеграла приводит к результату

Матричные же элементы для переходов равны нулю (как и для всякого полярного вектора, относящегося к отдельной частице — см. ниже (30,8)). Сравнение с (29,7) дает теперь

(29,14)

Задача

Усреднить тензор (где — единичный вектор в направлении радиуса-вектора частицы) по состоянию с заданной абсолютной величиной вектора I, но не его направлением (т. е. неопределенным ).

Решение. Искомое среднее значение есть оператор, который может выражаться лишь через оператор . Ищем его в виде

это есть наиболее общий вид составленного из компонент I симметричного тензора второго ранга с равным нулю следом. Для определения постоянной а умножаем написанное равенство слева на и справа на суммированием по и к). Поскольку вектор перпендикулярен к вектору

Произведение заменяем его собственным значением а произведение преобразуем с помощью соотношений коммутации (26,7) следующим образом:

(мы воспользовались тем, что ).

После простого приведения получим в результате