§ 19. Плотность потока

В классической механике скорость частицы v связана с ее импульсом соотношением . В квантовой механике, как и следовало ожидать, такая же связь имеет место между соответствующими операторами. В этом легко убедиться, вычислив оператор по общему правилу дифференцирования операторов по времени (9,2):

Воспользовавшись выражением (17,5) для Н и формулой (16,5), получим

Такие же соотношения будут, очевидно, иметь место и между собственными значениями скорости и импульса и между их средними значениями в любом состоянии.

Скорость, как и импульс частицы, не может иметь определенного значения одновременно с ее координатами. Но скорость, умноженная на бесконечно малый элемент времени определяет смещение частицы за время

Поэтому факт несуществования скорости одновременно с координатами означает, что если частица находится в определенной точке пространства в некоторый момент времени, то она не будет иметь определенного положения уже в следующий бесконечно близкий момент времени.

Отметим полезную формулу для оператора производной по времени от некоторой величины , являющейся функцией радиуса-вектор а частицы. Имея в виду, что коммутативно с находим

С помощью (16,4) пишем

и находим искомое выражение

Далее, найдем оператор ускорения. Имеем

Воспользовавшись формулой (16,4), находим

Это операторное уравнение по форме в точности совпадает с уравнением движения (уравнением Ньютона) классической механики.

Интеграл взятый по некоторому конечному объему V, представляет собой вероятность нахождения частицы в этом объеме. Вычислим производную от этой величины по времени. Имеем

Подставив сюда

и использовав тождество

получим

где j обозначает вектор

(19,4)

Интеграл от может быть преобразован, согласно теореме Гаусса, в интеграл по замкнутой поверхности, окружающей объем V:

Отсюда видно, что вектор j может быть назван вектором плотности потока вероятности или просто плотностью потока. Интеграл от этого вектора по поверхности есть вероятность того, что в течение единицы времени частица пересечет эту поверхность. Вектор j и плотность вероятности удовлетворяют уравнению

аналогичному классическому уравнению непрерывности.

Волновая функция свободного движения — плоская волна (17,9) — может быть пронормирована так, чтобы она описывала поток частиц с равной единице плотностью (поток, в котором через единичную площадку его поперечного сечения проходит в среднем по одной частице в единицу времени). Такая функция

где v — скорость частицы. Действительно, подставив ее в (19,4), получим , т. е. единичный вектор в направлении движения.

Полезно показать, каким образом непосредственно из уравнения Шредингера следует взаимная ортогональность волновых функций состояний с различной энергией. Пусть — две такие функции; они удовлетворяют уравнениям

Умножим первое из них на , а второе — на и вычтем почленно друг из друга; это дает

Если теперь проинтегрировать обе стороны уравнения по всему пространству, то правая сторона, будучи преобразована по теореме Гаусса, обратится в нуль, и мы получим

откуда, ввиду предполагаемого , следует искомое соотношение ортогональности