§ 28. Собственные функции момента

Заданием значений волновая функция частицы не определяется полностью. Это видно уже из того, что выражения для операторов этих величин в сферических координатах содержат только углы и так что их собственные функции могут содержать произвольный, зависящий от множитель. Мы будем рассматривать здесь только характерную для собственных функций момента угловую часть волной функции. Обозначим ее как и нормируем условием

( — элемент телесного угла).

Как показывают дальнейшие вычисления, задача об определении общих собственных функций операторов допускает разделение переменных и эти функции можно искать в виде

где — собственные функции оператора определяемые формулой (27,3). Поскольку функции уже нормированы условием (27,4), то должны быть нормированы согласно условию

Функции с различными или автоматически оказываются взаимно ортогональными:

(28,3)

как собственные функции операторов момента, соответствующие различным собственным значениям. В отдельности ортогональны также и функции (см. (27,4)) как собственные функции оператора , соответствующие различным его собственным значениям т. Функции же сами по себе не являются собственными функциями какого-либо из операторов момента; они взаимно ортогональны при различных , но не при различных т.

Наиболее прямой способ вычисления искомых функций есть непосредственное решение задачи об отыскании собственных функций оператора , написанного в сферических координатах (формула (26,16)). Уравнение гласит:

Подставив в это уравнение в виде (28,1), получим для функции уравнение

Это уравнение хорошо известно из теории шаровых функций. Оно имеет решения, удовлетворяющие условиям конечности и однозначности, при целых положительных значениях в согласии с полученными выше матричным методом собственными значениями момента. Соответствующие решения представляют собой так называемые присоединенные полиномы Лежандра (см. § с математических дополнений). Нормируя решение условием (28,2), получим

Здесь предполагается, что m 0. Для отрицательных определим соотношением

т.е. дается формулой (28,5), в которой надо написать вместо и опустить множитель

Таким образом, собственные функции момента оказываются, с математической точки зрения, определенным образом нормированными сферическими функциями. Выпишем, для удобства дальнейших ссылок, полное их выражение, учитывающее все указанные определения:

В частности,

Очевидно, что функции, отличающиеся знаком , связаны друг с другом соотношениями

При (так что шаровая функция сводится к постоянной. Другими словами, волновые функции состояний частицы с равным нулю моментом зависят только от , т. е. обладают полной шаровой симметрией — в соответствии со сделанным в § 27 общим утверждением.

При заданном значения начинающиеся с нумеруют последовательные собственные значения величины в порядке их возрастания. Поэтому на основании общей теоремы о нулях собственных функций (§ 21) мы можем заключить, что функция обращается в нуль при различных значениях угла 0; другими словами, она имеет в качестве узловых линий «кругов широт» шара. Что касается полных угловых функций, то, если выбрать их с вещественными множителями или вместо , они будут иметь в качестве узловых линий еще «меридианных кругов»; общее число узловых линий будет, таким образом, равно l.

Наконец, покажем, каким образом можно вычислить функции матричным методом. Это далается аналогично тому, как были вычислены в § 23 волновые функции осциллятора. Исходим из равенства (27,8) . Воспользовавшись выражением (26,15) для оператора и подставляя

получаем для уравнение

откуда . Определив постоянную из условия нормировки, получим

Далее, используя (27,12), пишем

Повторное применение этой формулы дает

Вычисление правой части равенства легко производится с помощью выражения (26,15) для оператора , согласно которому

Повторное применение этой формулы дает

Наконец, используя эти соотношения и выражение (28,10) для , получим формулу

совпадающую с (28,5).