§ 41. Переходы под влиянием возмущения, действующего в течение конечного времени

Предположим, что возмущение действует всего лишь в течение некоторого конечного промежутка времени (или же, что достаточно быстро затухает при ). Пусть перед началом действия возмущения (или в пределе при ) система находилась в n-м стационарном состоянии (дискретного спектра). В произвольный последующий момент времени состояние системы будет определяться функцией

где в первом приближении

пределы интегрирования в (40,5) выбраны таким образом, чтобы при все обращались в нуль.

По истечении времени действия возмущения (или в пределе ) коэффициенты принимают постоянные значения и система будет находиться в состоянии с волновой функцией

снова удовлетворяющей невозмущенному волновому уравнению, но отличной от первоначальной функции Согласно общим правилам квадрат модуля коэффициента определяет вероятность системе иметь энергию т. е. оказаться в стационарном состоянии.

Таким образом, под влиянием возмущения система может перейти из первоначального стационарного состояния в любое другое. Вероятность перехода из первоначального в конечное стационарное состояние равна

Рассмотрим теперь возмущение, которое, раз возникнув, продолжает затем действовать неограниченно долго (оставаясь, разумеется, все время малым). Другими - словами, стремится к нулю при и к конечному, отличному от нуля, пределу при . Формула (41,2) здесь непосредственно неприменима, так как стоящий в ней интеграл расходится. Эта расходимость, однако, с физической точки зрения несущественна и может быть легко устранена. Для этого напишем, интегрируя по частям:

Значение первого члена на нижнем пределе исчезает, а на верхнем пределе формально совпадает с коэффициентами разложения в формуле (38,8) (наличие лишнего периодического множителя связано просто с тем, что — коэффициенты разложения полной волновой функции , а в § 38 — коэффициенты разложения не зависящей от времени функции ). Поэтому ясно, что его предел при определяет просто изменение первоначальной волновой функции под влиянием «постоянной части» возмущения и не имеет, следовательно, отношения к переходам в другие состояния.

Вероятность же перехода определяется квадратом второго члена и равна

Полученные формулы справедливы и в том случае, когда переход совершается из состояния дискретного в состояние непрерывного спектра. Разница состоит лишь в том, что речь идет при этом о вероятности перехода из заданного (i-го) состояния в состояния, находящиеся в интервале значений величин (см. конец § 38) от до так что, например, формулу (41,2) надо писать в виде

Если возмущение мало меняется за промежутки времени — то значение интеграла в (41,2) или в (41,3) будет очень малым. В пределе при сколь угодно медленном изменении приложенного возмущения вероятность всякого перехода с изменением энергии (т. е. с отличной от нуля частотой ) стремится к нулю. Итак, при достаточно медленном (адиабатическом) изменении приложенного возмущения система, находившаяся в некотором невырожденном стационарном состоянии, будет продолжать оставаться в том же состоянии (см. также § 53).

В обратном предельном случае очень быстрого, внезапного, включения возмущения производные обращаются в бесконечность в «момент включения». В интеграле от можно тогда вынести из-под знака интеграла сравнительно медленно меняющийся множитель взяв его значение в этот момент. После этого интеграл сразу берется, и мы получаем

Вероятности перехода при внезапных возмущениях могут быть найдены и в тех случаях, когда возмущение не является малым.

Пусть система находится в состоянии, описывающемся одной из собственных функций первоначального гамильтониана Если изменение гамильтониана происходит внезапно (т. е. за время, малое по сравнению с периодами переходов из данного состояния i в другие), то волновая функция системы «не успевает» измениться и остается той же, что и до возмущения. Она, однако, уже не будет являться собственной функцией нового гамильтониана системы Н, т. е. состояние не будет стационарным.

Вероятности же перехода системы в какое-либо из новых стационарных состояний определяются, согласно общим правилам квантовой механики, коэффициентами разложения функции по собственным функциям гамильтониана

Покажем, каким образом эта общая формула переходит в формулу (41,5), если изменение гамильтониана является малым. Умножим уравнения

соответственно на проинтегрируем по и вычтем, почленно одно из другого. Использовав также свойство самосопряженности оператора Н, получим

Если возмущение V мало, то в первом приближении можно заменить близким к нему невозмущенным уровнем а волновую функцию (в правой стороне равенства) — соответствующей функцией . Тогда получим

и формула (41,6) переходит в (41,5).

Задачи

1. На заряженный осциллятор, находящийся в основном состоянии, внезапно накладывается однородное электрическое поле. Определить вероятности перехода осциллятора в возбужденные состояния под влиянием этого возмущения.

Решение. Потенциальная энергия осциллятора в однородном поле (действующем на него с силой F) есть

(где ) т. е. снова имеет чисто осцилляторный вид (со смещенным положением равновесия). Поэтому волновые функции стационарных состояний возмущенного осциллятора суть где — осцилляторные функции (23,12); начальная же волновая функция есть из (23,13). С помощью этих функций и выражения (23,11) для полиномов Эрмита находим

где введено обозначение

Стоящий здесь интеграл путем -кратного интегрирования по частям приводится к интегралу

В результате для искомой вероятности перехода (41,6) получим формулу

Как функция числа k она представляет собой распределение Пуассона со сред ним значением

Случаю применимости теории возмущений соответствуют малые F такие, что Тогда вероятности возбуждения малы и быстро убывают с увеличением k. Наибольшая из них

В обратном случае больших возбуждение осциллятора происходит с подавляющей вероятностью: вероятность осциллятору остаться в нормальном состоянии есть .

2. Ядро атома, находящегося в нормальном состоянии, испытывает внезапный толчок, в результате которого оно приобретает скорость в; длительность толчка предполагается малой как по сравнению с электронными периодами, так и по сравнению с где а — атомные размеры. Определить вероятность возбуждения атома под влиянием такого «встряхивания» (А. Б. Мигдал, 1939).

Решение. Переходим к системе отсчета К, движущейся вместе с ядром после удара. В силу условия ядро можно считать практически не сместившимся за время удара, так что координаты электронов в системе исходной системе К непосредственно после возмущения совпадают. Начальная волновая функция в системе К есть

где — волновая функция нормального состояния при неподвижном ядре, а суммирование в экспоненте производится по всем Z электронам в атоме. Искомая вероятность перехода в возбужденное состояние определяется теперь, согласно (41,6), формулой

В частности, если то, разлагая экспоненциальный множитель под знаком интеграла и замечая, что интеграл от обращается в нуль в силу ортогональности функций и получим

3. Определить полную вероятность возбуждения и ионизации атома водорода при внезапном «встряхивании» (см. предыдущую задачу).

Решение. Искомую вероятность можно вычислить как разность

где — вероятность атому остаться в основном состоянии волновая функция основного состояния атома водорода; а — боровский радиус).

Вычислив интеграл, получим

В предельном случае эта вероятность стремится к нулю как а при — к единице как

4. Определить вероятность вылета электрона из -оболочки атома с большим атомным номером Z при -распаде ядра. Скорость -частицы предполагается большой по сравнению со скоростью -электрона (Л. Б. Мигдал, 1941; Е. Л. Фейнберг, 1939).

Решение. В указанных условиях длительность прохождения -частицы через -оболочку мала по сравнению с периодом обращения электрона, так что изменение заряда ядра можносчитать мгновенным. Роль возмущения играет при этом изменение поля ядра при малом (1 по сравнению с Z) изменении его заряда. Согласно (41,5) вероятность перехода одного из двух электронов -оболочки с энергией в состояние непрерывного спектра с энергией в интервале есть

В интеграле, определяющем матричный элемент существенна область близких расстояний от ядра, в которой для волновой функции состояния непрерывного спектра тоже можно пользоваться водородоподобным выражением. Конечное состояние электрона должно иметь момент (совпадающий с моментом начального состояния). С помощью функции и нормированной по шкале функции , полученных в § 36, и формулы (f, 3) математически» дополнений найдем 3)

и, поскольку

окончательно получим

где введено обозначение

Предельные значения функции :

Полная вероятность ионизации -оболочки получается интегрированием по всем энергиям вылетающего электрона. Численный расчет дает

5. Определить вероятность вылета электрона из -оболочки атома с большим Z при -распаде ядра. Скорость -частицы мала по сравнению со скоростью К-электрона, но время ее выхода из ядра мало по сравнению со временем обращения электрона (А. Б. Мигдал, 1941; J. Levinger, 1953).

Решение. После вылета -частицы действующее на электрон возмущение имеет адиабатический характер. Поэтому искомый эффект определяется в основном временем, близким к нарушающему адиабатичность «моменту включения» возмущения, когда -частица, выйдя из ядра и двигаясь как свободная, находится еще на расстояниях, малых по сравнению с радиусом -орбиты. Роль возмущения V, вызывающего ионизацию атома, играет при этом отклонение совместного поля ядра и -частицы от чисто кулонова поля Дипольный момент двух частиц с атомными весами 4 и и зарядами 2 и , находящимися на расстоянии друг от друга (V — относительная скорость ядра и -частицы), равен

Поэтому дипольный член поля ядра и -частицы есть

где ось направлена вдоль скорости v. Матричный элемент этого возмущения сводится к матричному элементу от г: взяв матричный элемент от уравнения движения электрона получим

Искомая вероятность перехода одного из двух электронов -оболочки равна, согласно (41,2),

(для вычисления интеграла вводим в подынтегральное выражение дополнительный затухающий множитель после чего в получающемся результате полагаем ). Для вычисления матричного элемента от замечаем, что поскольку орбитальный момент в начальном состоявии то имеет отличный от нуля матричный элемент лишь для перехода в состояние с при этом

Вычисляя с помощью радиальных функций получим в результате

(функция f определена в задаче 4).