§ 128. Аналитические свойства амплитуды рассеяния

Ряд важных свойств амплитуды рассеяния может быть установлен путем изучения ее как функции энергии рассеиваемой частицы Е, формально рассматриваемой как комплексная переменная.

Рассмотрим движение частицы в поле достаточно быстро обращающемся на бесконечности в нуль, — требуемая степень быстроты убывания будет указана ниже. Для упрощения последующих рассуждений будем сначала считать, что орбитальный момент частицы . Напишем асимптотический вид волновой функции — решения уравнения Шредингера с для произвольного заданного значения Е — в форме

(128,1)

и будем рассматривать Е как комплексную переменную; будем при этом определять как положительную величину при вещественных отрицательных значениях Е. Волновая функция предполагается нормированной каким-либо определенным условием, скажем, условием

На левой части вещественной оси ( экспоненциальные множители в первом и втором членах в (128,1) вещественны; один из них убывает, а другой возрастает при

Из условия вещественности следует, что функции вещественны при в свою очередь отсюда следует, что эти функции имеют комплексно сопряженные значения в любых двух точках, расположенных симметрично относительно вещественной оси:

(128,2)

Совершая переход с левой вещественной полуоси на правую полуось через верхнюю полуплоскость, мы получим асимптотическое выражение для волновой функции при в виде

(128,3)

Если же произвести переход через нижнюю полуплоскость, мы получили бы

Поскольку должна быть однозначной функцией Е, это значит, что

(это соотношение следует также и непосредственно из вещественности при Однако, благодаря неоднозначности корня в (128,1), сами коэффициенты А(Е) и В(Е) неоднозначны. Для устранения этой неоднозначности разрежем комплексную плоскость вдоль правой вещественной полуоси. Наличие разреза делает однозначным и тем самым обеспечивает однозначность определения функций При этом на верхнем и нижнем краях разреза эти функции имеют комплексно сопряженные значения (в выражении (128,3) А (Е) и В (Е) берутся на верхнем краю разреза).

Разрезанную указанным образом комплексную плоскость будем называть физическим листом римановой поверхности. Согласно принятому нами определению на всем этом листе имеем

(128,5)

В частности, на верхнем краю разреза определенный таким образом переходит в

В (128,3) множители и а с ними и оба члена в — одинакового порядка величины; асимптотическое выражение вида (128,3) поэтому всегда законно. На всем же остальном физическом листе первый член в (128,1) экспоненциально затухает, а второй — возрастает при (ввиду ).

Поэтому оба члена в (128,1) оказываются различного порядка величины и это выражение, как асимптотическая форма волновой функции, может оказаться незаконным — малый член в нем на фоне большого может оказаться недопустимым превышением точности. Для законности выражения (128,1) отношение малого члена к большому не должно быть меньше относительного порядка величины потенциальной энергии которой пренебрегают в уравнении Шредингера при переходе к асимптотической области. Другими словами, поле должно удовлетворять условию: убывает при быстрее, чем

(128,6)

Если это условие выполняется для любого , т. е. если убывает быстрее, чем

(128,6а)

с любой положительной постоянной с, асимптотическое выражение вида (128,1) справедливо на всем физическом листе. Будучи решением уравнения с конечными коэффициентами, оно не имеет особенностей по Е. Это значит, что функции А(Е) и В(Е) регулярны на всем физическом листе, за исключением точки последняя, будучи точкой начала разреза, является точкой разветвления этих функций.

Связанным состояниям частицы в поле соответствуют волновые функции, обращающиеся при в нуль. Это значит, что второй член в (128,1) должен отсутствовать, т. е. дискретным уровням энергии соответствуют нули функции В (Е). Поскольку уравнение Шредингера имеет лишь вещественные собственные значения, все нули В (Е) на физическом листе вещественны (и расположены на левой части вещественной оси).

Функции А (Е) и В (Е) при непосредственно связаны с амплитудой рассеяния в поле . Действительно, сравнив (128,3) с асимптотическим выражением написанным в форме (33,20)

(128,7)

мы видим, что

Амплитуда же рассеяния с моментом есть, согласно (123,15),

при этом А а В берутся на верхнем краю разреза.

Рассматривая теперь амплитуду рассеяния как функцию Е на всем физическом листе, мы видим, что дискретные уровни энергии являются ее простыми полюсами. Если поле удовлетворяет условию (128,6а), то, согласно сказанному выше, амплитуда рассеяния не имеет других особых точек .

Вычислим вычет амплитуды рассеяния относительно полюса, который она имеет в каком-либо дискретном уровне Для этого напишем уравнения, которым удовлетворяют функция и ее производная по энергии:

Умножив первое на второе — на вычтя почленно одно из другого и проинтегрировав по получим

Применим это соотношение при . Интеграл в правой стороне равенства при обращается в единицу, если волновая функция связанного состояния нормирована обычным условием . В левую же сторону подставляем из (128,1), учитывая при этом, что вблизи точки

В результате получим

С помощью этих выражений найдем, что вблизи точки главный член в амплитуде рассеяния (совпадающий с амплитудой для имеет следующий вид:

Таким образом, вычет амплитуды рассеяния в дискретном уровне определяется коэффициентом в асимптотическом выражении

(128,12)

нормированной волновой функции соответствующего стационарного состояния.

Возвращаясь к исследованию аналитических свойств амплитуды рассеяния, рассмотрим случаи, когда условие (128,6а) не выполняется. В таких полях в выражении (128,1) лишь возрастающий член является корректной частью асимптотической формы решения уравнения Шредингера на всем физическом листе. Соответственно этому, можно по-прежнему утверждать, что функция В(Е) не имеет особенностей.

Функция же А(Е) в этих условиях может быть определена в комплексной плоскости лишь как аналитическое продолжение функции, представляющей собой коэффициент в асимптотическом выражении на правой вещественной полуоси, где оба члена в являются законными. Такое продолжение, однако, дает теперь, вообще говоря, различные результаты в зависимости от того, производится ли оно с верхней или с нижней стороны разреза.

Для достижения однозначности мы условимся определять А(Е) в верхней и нижней полуплоскостях как аналитические продолжения соответственно с верхней и с нижней сторон правой полуоси; разрез же при этом должен быть, вообще говоря, продолжен на всю вещественную ось. Определенная таким образом функция по-прежнему обладает свойством , но, вообще говоря, не вещественна ни на правой, ни на левой части вещественной оси. Она может также в принципе обладать особенностями.

Покажем, однако, что существует тем не менее категория полей, для которых функция А(Е) не обладает особенностями внутри физического листа, хотя условие (128,6а) не выполняется.

Для этого будем рассматривать как функцию комплексного при заданном (комплексном) значении Е. При этом достаточно ограничиться значениями Е в верхней полуплоскости, поскольку значения функции А(Е) в обеих полуплоскостях комплексно сопряжены друг с другом. Для таких значений , при которых есть вещественное положительное число, оба члена в волновой функции (128,1) одинакового порядка, т. е. мы возвращаемся к той ситуации, которая имеет место для вещественных , когда оба члена в асимптотическом выражении законны при любом стремящемся на бесконечности к нулю поле . Поэтому можно утверждать, что А(Е) не может иметь особых точек при таких значениях Е, для которых , когда стремится к вдоль луча, на котором Когда Е пробегает все значения в верхней полуплоскости, условие выделяет правый нижний квадрант плоскости комплексного .

Таким образом, мы приходим к выводу, что А(Е) не имеет особенностей внутри физического листа также и в случаях, когда удовлетворяет условию когда в правой полуплоскости

(128,13)

(Л. Д. Ландау, 1961).

Условия (128,6а) и (128,13) охватывают очень широкую категорию полей. Поэтому можно сказать, что амплитуда рассеяния, как правило, не имеет особенностей внутри обеих полуплоскостей. На самой же левой полуоси (которая входит в состав физического листа при отсутствии разреза на ней) амплитуда рассеяния имеет полюсы, соответствующие энергиям связанных состояний; при наличии разреза здесь могут находиться и другие особенности.

Последнее имеет место, в частности, для полей вида

(128,14)

(с любым ). На отрезке левой полуоси выполняется условие (128,6), так что на нем не должно быть разреза, и амплитуда рассеяния имеет здесь лишь полюсы, соответствующие связанным состояниям. На остальной части левой полуоси могут иметься также и лишние полюсы и другие особенности (S. Т. Ма, 1946). Их появление связано с тем, что функция (128,14) перестает стремится к нулю, когда вдоль луча, на котором сразу же, как только Е попадает под левую полуось (т. е. указанный луч попадает влево за минимую ось плоскости комплексного ).

Далее, рассмотрим аналитические свойства амплитуды рассеяния при Когда вдоль вещественной оси, справедливо борновское приближение и амплитуда рассеяния стремится к нулю. Согласно сказанному выше такая же ситуация имеет место при стремлении Е к бесконечности в комплексной плоскости вдоль какой-либо прямой , если при этом рассматривать такие комплексные значения , для которых

Если , когда вдоль прямой и никаких особых точек на этой прямой не имеет, то выполнено условие применимости борновского приближения и амплитуда рассеяния по-прежнему стремится к нулю. Когда пробегает все значения от 0 до пробегает значения от 0 до

В результате мы приходим к заключению, что амплитуда рассеяния стремится к нулю на бесконечности во всех направлениях в плоскости Е, если функция в правой полуплоскости не имеет особых точек и стремится к нулю на бесконечности

Хотя мы говорили выше все время о рассеянии с моментом , но в действительности все изложенные результаты справедливы и для парциальных амплитуд рассеяния с любым отличным от нуля моментом. Разница в выводах состоит лишь в том, что вместо множителей в асимптотических выражениях надо было бы писать точные радиальные волновые функции свободного движения (33,16).

Некоторые изменения надо ввести, при , в формулы (128,9) и (128,11). Вместо (128,7) имеем теперь

(128,15)

и для парциальной амплитуды (определенной согласно (123,15)) получим

Главный же член в амплитуде рассеяния вблизи уровня с моментом дается, вместо (128,11), формулой