§ 24. Движение в однородном поле

Рассмотрим движение частицы в однородном внешнем поле. Направление поля выберем в качестве оси х, и пусть F есть сила, действующая в поле на частицу; в электрическом поле напряженности Е эта сила равна где — заряд частицы.

Потенциальная энергия частицы в однородном поле при имеем . Уравнение Шредингера рассматриваемой задачи имеет вид

Поскольку U стремится к при при то заранее очевидно, что уровни энергии образуют непрерывный спектр, заполняющий весь интервал значений от до Все эти собственные значения не вырождены и соответствуют движению, финитному со стороны и инфинитному в направлении .

Введем вместо координаты безразмерную переменную

Тогда уравнение (24,1) принимает вид

Это уравнение вовсе не содержит параметра энергии. Поэтому, получив его решение, удовлетворяющее необходимым условиям конечности, мы тем самым получим собственную функцию для произвольных значений энергии.

Решение уравнений (24,3), конечное при всех имеет вид (см. § b математических дополнений)

где

есть так называемая функция Эйри, а — нормировочный множитель, который мы определим ниже.

При функция (Е) стремится к нулю экспоненциально. Асимптотическое выражение, определяющее (5) при больших по абсолютной величине отрицательных значениях имеет вид (см. (b, 4))

При больших же положительных значениях асимптотическое выражение функции будет следующим (см. (b, 5)

Согласно общему правилу (5,4) нормировки собственных функций непрерывного спектра, приведем функции (24,4) к нормированному на -функцию от энергии виду

В § 21 был указан простой способ определения нормировочного коэффициента с помощью асимптотического выражения волновых функций. Следуя этому способу, представляем функцию (24,6) в виде суммы двух бегущих волн:

Плотность потока, вычисленная для каждого из этих двух членов, есть

Приравняв ее находим

Задача

Определить волновые функции в импульсном представлении для частицы в однородном поле.

Решение. Гамильтониан в импульсном представлении

так что уравнение Шредингера для волновой функции а имеет вид

Решив это уравнение, получим искомые функции

Эти функции нормированы условием