§ 42. Переходы под влиянием периодического возмущения

Другого рода результаты получаются для вероятности пере хода в состояния непрерывного спектра, происходящего под влиянием периодического возмущения. Предположим, что в некоторый начальный момент времени система находится в стационарном состоянии дискретного спектра. Частоту со периодического возмущения будем предполагать такой, что

где — значение энергии, с которого начинается непрерывный спектр.

Из результатов § 40 заранее очевидно, что основную роль будут играть состояния непрерывного спектра со значениями энергии в непосредственной близости к «резонансной» энергии , т. е. такие, для которых разность — со мала. По этой же причине в матричных элементах возмущения (40,8) достаточно рассматривать только первый член (с близкой к нулю частотой ). Подставляя этот член в (40,5) и интегрируя, получим

Нижний предел интегрирования выбран таким образом, чтобы при было в соответствии с поставленным начальным условием.

Для квадрата модуля отсюда находим

Легко видеть, что при больших t стоящая здесь функция может быть представлена как пропорциональная l.

Для этого замечаем, что имеет место следующая формула:

Действительно, при написанный предел равен нулю, а при имеем так что предел равен бесконечности.

Интегрируя же по в пределах от до (делаем подстановку ), получим

Таким образом, функция, стоящая в левой стороне равенства (42,4), действительно удовлетворяет всем требованиям, определяющим -функцию.

Соответственно этой формуле мы можем написать при больших

или, подставив и воспользовавшись тем, что

Выражение есть вероятность перехода из первоначального состояния в состояния, находящиеся в заданном интервале Мы видим, что при больших t она оказывается пропорциональной истекшему с момента промежутку времени. Вероятность же перехода в течение единицы времени равна

В соответствии с тем, что и ожидалось, она отлична от. нуля лишь для переходов в состояния с энергией Если энергетические уровни непрерывного спектра не вырождены, так что под можно понимать значения одной только энергии, то весь «интервал» состояний сводится к одному состоянию с энергией , вероятность перехода в это состояние есть

Методически поучителен также и другой способ вывода формулы (42,5), в котором периодическое возмущение предполагается включающимся не в дискретный момент а медленно нарастает от по экспоненциальному закону о положительной постоянной , которую затем устремляют к нулю (адиабатическое включение). Соответственно и начальное условие ставится при этом в момент Матричный элемент возмущения имеет теперь вид

и вместо (42,2) пишем

Отсюда

Вероятность же перехода в единицу времени определяется производной

Теперь замечаем, что имеет место формула

справедливая в том же смысле, что и (42,4). С ее помощью находим, переходя к пределу :

и мы вновь возвращаемся к формуле (42,5).