§ 50. Прохождение через потенциальный барьер

Рассмотрим движение частицы в поле типа, изображенного на рис. 13, характеризующегося наличием потенциального барьера, — участка, в котором потенциальная энергия превышает полную энергию Е частицы. В классической механике потенциальный барьер непроницаем для частицы; в квантовой же механике частица может, с отличной от нуля вероятностью, пройти «сквозь барьер» (об этом явлении говорят также, как о туннельном эффекте) . Если поле удовлетворяет условиям квазиклассичности, то коэффициент прохождения через барьер может быть вычислен в общем виде. Заметим, что эти условия приводят, в частности, к тому, что барьер должен быть широким и потому коэффициент прохождения в квазиклассическом случае мал.

Чтобы не прерывать дальнейших вычислений, решим предварительно следующую задачу. Пусть квазиклассическая волновая функция в области справа от точки поворота имеет вид бегущей волны:

Рис. 13

Требуется найти волновую функцию этого же состояния в области Сделаем это тем же способом обхода в плоскости комплексного который был применен в § 47.

Положив

напишем функцию (50,1) в виде

и произведем в ней обход справа налево по полуокружности в верхней полуплоскости:

причем фаза меняется от 0 до

В течение обхода функция сначала убывает, а затем возрастает по модулю, становясь в конце обхода равной

Таким образом, находим следующее правило соответствия

Подчеркнем, что это правило предполагает определенный вид волновой функции (бегущая направо волна) в классически разрешенной области и должно применяться именно для перехода от последней к классически недоступной области.

Вернемся теперь к вычислению коэффициента прохождения через потенциальный барьер. Пусть частица падает на барьер из области слева направо. Тогда в области III позади барьера будет иметься лишь прошедшая через барьер волна, распространяющаяся вправо; волновую функцию в этой области напишем в виде

(50,3)

где — скорость частиц, a D — плотность потока в волне. По правилу (50,2) находим теперь волновую функцию в области II внутри барьера:

Наконец, применив правило (47,5), получим в области 1 перед барьером:

Эта функция, если положить в ней

принимает вид

Первый член в ней (сводящийся при к плоской волне ) описывает падающую на барьер волну, а второй — отраженную волну. Выбранная нормировка отвечает равной единице плотности потока в падающей волне, а потому величина D — плотность потока в прошедшей волне — совпадает с искомым коэффициентом прохождения через барьер. Подчеркнем, что эта формула применима лишь, если показатель экспоненты велик, так что само D мало.

До сих пор предполагалось, что поле удовлетворяет условию квазиклассичности на всем протяжении барьера (за исключением только непосредственной окрестности точек поворота). Фактически же часто приходится иметь дело с барьерами, в которых кривая потенциальной энергии с одной из сторон идет настолько круто, что квазиклассическое приближение неприменимо. Основной экспоненциальный множитель в D остается здесь тем же, что и в формуле (50,5), но предэкспоненциальный множитель (равный в (50,5) единице) меняется. Для его вычисления необходимо в принципе вычислить точную волновую функцию в неквазиклассической области и по соответствию с ней определить квазиклассическую волновую функцию внутри барьера.

Задачи

1. Определить коэффициент прохождения через потенциальный барьер, изображенный на рис. 14: ( при при вычислить только экспоненциальный множитель.

Решение, Простое вычисление приводит к результату

2. Определить вероятность выхода частицы (с равным нулю моментом) из центрально-симметричной потенциальной ямы: при при (рис. 15).

Рис. 14

Рис. 15

Решение. Центрально-симметричная задача сводится и одномерной, так что можно применять полученные выше формулы. Имеем

Вычисляя интеграл, окончательно получим

В предельном случае эта формула переходит в формулу

Эти формулы применимы, когда показатель велик, т. е. Это условие, как и должно быть, совпадает с условием (49,11) квазиклассичносги движения в кулоновом поле.

3. Поле представляет собой две симметричные потенциальные ямы (, рис. 16), разделенные барьером. Если бы барьер был непроницаем для частицы, то существовали бы уровни энергии, отвечающие движению частицы только в одной или в другой яме, одинаковые для обеих ям. Возможность перекода через барьер приводит к расщеплению каждого из этих уровней на два близких уровня, соответствующих состояниям, в которых частица движется одновременно в обеих ямах.

Определить величину расщепления (поле ) предполагается квазиклассическим).

Рис. 16

Решение. Приближенное решение уравнения Шредингера в поле отвечающее пренебрежению вероятностью перехода через барьер, строим с помощью квазиклассической волновой функции описывающей движение (с некоторой энергией ) в одной яме (скажем, в яме ), т. е. экспоненциально затухающей в обе стороны от границ этой ямы; функция предполагается нормированной так, что интеграл от по области ямы равен единице. При у чете малой вероятности туннелирования уровень Ей расщепляется на уровни и Правильные волновые функции нулевого приближения, отвечающие этим уровням, представляют собой симметричную и антисимметричную комбинации функций

В области ямы функция исчезающе мала по сравнению с , а в яме II — наоборот. Поэтому произведение исчезающе мало везде, и функции (1) нормированы так, что равны единице интегралы от и» квадратов по ямам I и II.

Пишем уравнения Шредингера

умножаем первое на второе на вычитаем почленно и интегрируем по в пределах от 0 до Имея в виду, что при и что

находим

Аналогичным образом находим для такое же выражение с обратным знаком. Таким образом,

С помощью формулы (47,1) с коэффициентом С из (48,3) находим, что

где

Таким образом,

(а — точка поворота, отвечающая энергии — см. рис. 16).

4. Определить точное значение коэффициента прохождения D (не предполагая его малым) через параболический потенциальный барьер .

Решение. При любых значениях k и Е движение квазиклассично на достаточно больших расстояниях , где

и асимптотический вид решения уравнения Шредингера есть

где введены обозначения:

Нас интересует решение, которое при то содержит лишь прошедшую через барьер волну, т. е. распространяющуюся слева направо. Положим

Первый член в (2) представляет собой падающую, а второй — отраженную волну (направлением распространения волны является то, в котором возрастает ее фаза). Связь между А и В может быть найдена исходя из того, что асимптотическое выражение справедливо во всей достаточно удаленной области плоскости комплексного переменного . Проследим за изменением функции (1) при обходе вдоль полуокружности большого радиуса в верхней полуплоскости

причем меняется от 0 до . В результате обхода функция (1) переходит во второй член в (2) с коэффициентом

на участке пути где модуль экспоненциально велик, теряется экспоненциально малая величина, которая должна была бы дать первый член в (2).

При выбранной в (2) нормировке падающей волны условие сохранения числа частиц имеет вид

Из (3) и (4) находим искомый коэффициент прохождения

Эта формула справедлива при любых Е. Если энергия отрицательна и велика по абсолютной величине, получаем в согласии с формулой (50,5). При Е > 0 величина

есть коэффициент надбарьерного отражения.