§ 58. Оператор конечных вращений

Вернемся к вопросу о преобразовании спиноров и покажем, каким образом коэффициенты этого преобразования могут быть фактически выражены через углы поворота координатных осей.

По определению оператора момента (в данном случае спина), выражение есть оператор поворота на угол вокруг направления, задаваемого единичным вектором ; в применении к волновой функции частицы со спином 1/2, т. е. к спинору первого ранга, надо положить в этом операторе . Оператор же поворота на конечный угол вокруг того же направления будет соответственно даваться формулой

(ср. (15,13)). Как и всякая функция матриц Паули (см. задачу 1 § 55), это выражение сводится к линейному по этим матрицам выражению

Так, для поворота вокруг оси находим

Это значит, что компоненты спинора при таком повороте преобразуются по закону

В частности, при повороте на угол компоненты спинора меняют знак; таким же свойством будут, следовательно, обладать также и спиноры любого нечетного ранга конец § 55).

Рис. 20

Аналогичным образом найдем матрицы преобразований, состоящих в повороте на угол вокруг оси или оси у.

Отметим частный случай поворота на угол вокруг оси у, при котором

т. е.

Легко написать теперь матрицу преобразования при произвольном повороте координатных осей в зависимости от углов Эйлера, определяющих этот поворот.

Вращение осей, определяемое углами Эйлера , производится в три приема: 1) поворот на угол а () вокруг оси , 2) поворот на угол вокруг нового положения оси у (ON на рис. 20, так называемая линия узлов), 3) поворот на угол вокруг получившегося окончательного положения оси .

Очевидно, что углы совпадают со сферическими углами новой оси по отношению к осям

Соответственно такому способу поворота осей, матрица полного преобразования равна произведению трех матриц (58,3)- (58,4):

Непосредственным перемножением матриц окончательно находим

Спиноры высших рангов преобразуются, по определению, как произведения компонент спинора первого ранга. В физических применениях, однако, представляют интерес не столько законы преобразования самих спиноров, сколько отвечающих им волновых функций .

Пусть функции описывают в координатной системе состояние с определенным значением момента а функции — то же состояние по отношению к осям в первом случае есть значение а во втором: Те и другие функции связаны друг с другом линейными соотношениями, которые запишем в виде

Коэффициенты составляют (по отношению к индексам ) матрицу ранга — матрицу конечных вращений ее элементы являются функциями углов поворота а, р, у системы относительно

Конструктивное построение матрицы конечных вращений может быть произведено с помощью спинорного представления функций

При две функции составляют ковариантный спинор первого ранга. Согласно (56,13) его преобразование (от системы к системе ) осуществляется матрицей О (58,6), так что Запишем ее элементы в виде

где

При произвольном значении j функции связаны с компонентами симметричного ковариантного спинора ранга формулой (57,6). Матрица преобразования компонент спинора ранга есть произведение матриц каждая из которых действует на один из спинорных индексов. Произведя перемножение и вернувшись снова к функциям получим матрицу преобразования последних в виде

причем функции даются формулой

(58,10)

где

(58,11)

— так называемые полиномы Якоби 2). Отметим, что

(58,12)

Функции обладают рядом свойств симметрии, которые можно было бы усмотреть из выражений (58,11) и (58,12), но проще вывести непосредственно из их определения как коэффициентов вращательного преобразования.

Матрица как матрица вращательного преобразования унитарна. Поскольку преобразование, обратное повороту , есть поворот , то для вещественной матрицы отсюда получаются соотношения

(58,13)

Далее, справедливы равенства

(58,14)

При они очевидны из (58,8), а их обобщение для произвольных j очевидно из описанного выше способа построения матрицы преобразования.

Произведем поворот на угол как два последовательных поворота на углы :

или, используя (58,13),

(58,16)

Результат двух поворотов вокруг одной и той же оси не зависит от их последовательности. Поэтому мы должны получить тот же результат, произведя повороты —р и я в обратном порядке. Сделав это и сравнив ответ с (58,16), получим соотношение

(58,17)

Из (58,17), (58,14) и (58,13) следует, что

(58,18)

На основании (58,13)-(58,18) могут быть написаны различные свойства симметрии полных функций Отметим, в частности, выражение комплексно сопряженной функции

(58,19)

С математической точки зрения, матрицы дают унитарные неприводимые представления группы вращений с размерностью (см. ниже, § 98).

Отсюда сразу следует соотношение ортогональности и нормировки

(58,20)

где

Ортогональность функций по индексам шит обеспечивается множителем Ортогональность же по индексу связана с функциями для которых имеем

(58,21)

Наконец, приведем, для справок, выражения функций для некоторых частных значений параметров. При имеем

(58,22)

При целом и формулы (58,10) и (58,11) дают

Происхождение этой формулы легко проследить из исходного определения (58,7). Будем относить значения функций в правой стороне (58,7) к оси , на которой имеем (при

Функция же в левой стороне будет тогда шаровой функцией от сферических углов направления оси z. Подставив (58,24) в (58,7), получим

(58,25)

что эквивалентно (58,23).

Наконец, приведем выражение функции при наибольшем возможном значении одного из индексов :