§ 129. Дисперсионное соотношение

В предыдущем параграфе мы изучали аналитические свойства парциальных амплитуд рассеяния с заданными значениями I. Мы видели, что эти свойства осложняются возможностью появления «лишних» особенностей и нерегулярности на бесконечности. Такими же свойствами обладает, очевидно, и полная амплитуда, рассматриваемая как функция энергии при заданных значениях угла рассеяния. Исключение представляет, однако, амплитуда рассеяния на угол нуль. Как мы сейчас покажем, ее аналитические свойства значительно проще.

Написав уравнение Шредингера для волновой функции рассеиваемой частицы в виде

(129,1)

будем рассматривать его формальным образом как волновое уравнение с правой частью, т. е. как известное из электродинамики уравнение запаздывающих потенциалов.

Решение этого уравнения, описывающее «излучение» в некотором направлении к на больших расстояниях от центра, имеет, как известно, следующий вид (см. II, § 66):

В данном случае это выражение представляет собой волновую функцию рассеянной частицы и коэффициент при есть амплитуда рассеяния . В частности, положив (к — волновой вектор падающей частицы), получим амплитуду рассеяния на угол :

(129,3)

(ось направлена вдоль k). Это выражение имеет, конечно, лишь формальный смысл, поскольку в подынтегральное выражение снова входит неизвестная волновая функция. Оно позволяет, однако, сделать определенные заключения об аналитических свойствах величины как функции энергии Е.

Функция под знаком интеграла состоит при больших из двух частей — падающей и расходящейся волн. Последняя пропорциональна так что соответствующая часть интеграла содержит в подынтегральном выражении . С другой стороны, при переходе в комплексную плоскость (с верхнего края разреза вдоль правой полуоси) заменяется на причем на всем физическом листе Поскольку то и интеграл сходится при любом комплексном Е. Что касается падающей волны в пропорциональной , то в соответствующей части интеграла экспоненциальные множители вообще сокращаются, так что и эта часть сходится.

Функция в интеграле (129,3) однозначно определена при любом комплексном Е как решение уравнения Шредингера, содержащее, помимо плоской волны, лишь затухающую (при ) часть. Поэтому однозначно определен и весь сходящийся интеграл (129,2), так что его особенности могут возникать только в результате обращения в бесконечность.

Последнее имеет место в дискретных уровнях энергии.

Легко видеть также, что остается конечна при При больших в уравнении Шредингера (129,1) можно пренебречь членом с U, так что в остается лишь плоская волна: . В результате интеграл (129,2) переходит в

что совпадает, как и следовало, с борновской амплитудой (126,4) рассеяния на угол обозначим ее посредством .

Рис. 46

Таким образом, мы приходим к выводу, что амплитуда рассеяния на угол регулярна на всем физическом листе (в том числе на бесконечности), за исключением лишь обязательных полюсов на левой вещественной полуоси в дискретных уровнях энергии.

Рассмотрим интеграл

взятый по изображенному на рис. 46 контуру, состоящему из бесконечно удаленной окружности и обхода вокруг разреза вдоль правой полуоси. Интеграл по окружности обращается в нуль, поскольку Интегрирование же по обеим сторонам разреза дает

здесь учтено, что по принятому в § 128 определению физическая амплитуда рассеяния для вещественных положительных значений Е задается на верхней стороне разреза, а на нижней стороне имеет комплексно сопряженное значение.

С другой стороны, согласно теореме Коши интеграл (129,4) равен сумме и вычетов подынтегрального выражения во всех полюсах функции где — дискретные уровни энергии; эти вычеты определяются с помощью формулы (128,17) и равны

(129,5)

— момент состояния с энергией

Таким образом, получаем

Это так называемое дисперсионное соотношение определяет в любой точке физического листа по значениям ее мнимой части при (D. Wong, 1957; N. N. Khun, 1957).

Рис. 47

Когда точка Е устремляется к верхней стороне разреза, интеграл вдоль вещественной оси в (129,6) должен быть взят, обходя полюс снизу; если произвести этот обход по бесконечно малой полуокружности (рис. 47), то соответствующая часть интеграла даст в правой стороне уравнения (129,6) величину а остающийся интеграл от 0 до должен пониматься в смысле главного значения. В результате получим формулу

(129,7)

определяющую при вещественную часть амплитуды рассеяния на угол через ее мнимую часть. Напомним, что последняя, согласно (125,9), непосредственно связана с полным сечением рассеяния.