§ 119. Несферические ядра

Система частиц, движущихся в сферически-симметричном поле, не может иметь вращательного спектра энергий; в квантовой механике понятие вращения для такой системы вообще не имеет никакого смысла. Это относится и к рассмотренной в предыдущем параграфе оболочечной модели ядра со сферически-симметричным самосогласованным полем.

Разделение энергии системы на внутреннюю и вращательную части в квантовой механике вообще не имеет строгого смысла. Оно может иметь лишь приближенный характер и возможно в тех случаях, когда по тем или иным физическим причинам является хорошим приближением рассмотрение системы как совокупности частиц, движущихся в заданном поле, не обладающем сферической симметрией.

Вращательная структура уровней появляется тогда как результат учета возможности вращения указанного поля по отношению к фиксированной системе координат. С таким случаем мы имели дело, например, в молекулах, электронные термы которых можно определять как уровни энергии системы электронов, движущихся в заданном поле фиксированных ядер.

Опыт показывает, что большинство ядер действительно не обладает вращательной структурой. Это означает, что хорошим приближением для них является сферически-симметричное самосогласованное поле, т. е. ядра обладают (с точностью до квантовых флуктуаций) сферической формой.

Существует, однако, и такая категория ядер, которые обла. дают энергетическим спектром вращательного типа (сюда относятся ядра в интервалах атомных весов примерно Это их свойство означает что приближение сферически-симметричного самосогласованного поля для них совершенно непригодно. Самосогласованное поле для этих ядер должно в принципе искаться без каких-либо предварительных предположений о характере его симметрии с тем, чтобы форма ядра определилась также «самосогласованным» образом. Опыт показывает, что правильной моделью для ядер этой категории оказывается самосогласованное поле, имеющее ось симметрии и перпендикулярную к ней плоскость симметрии (т. е. имеющие симметрию эллипсоида вращения). Представление о несферических ядрах наиболее полно было разработано в работах О. Бора и Моттельеона (А. Bohr, В. R. Mottelson, 1952—1953).

Подчеркнем, что мы имеем дело с двумя качественно различными категориями ядер. Это проявляется, в частности, в том, что ядра оказываются либо сферическими, либо несфернческими с отнюдь не малой «степенью несферичноети».

Возникновению несферичности способствует наличие в ядре незаполненных оболочек; существенную роль в этом явлении играет, по-видимому, также явление спаривания нуклонов. Напротив, замкнутость оболочек способствует сферичности ядра. Харак. терным в этом смысле является дважды магическое ядро в силу резко выраженной замкнутости его нуклонной конфигурации это ядро (а также и близкие к нему ядра) является сферическим, что и приводит к появлению разрыва в ряду несферических тяжелых ядер.

Уровни энергии несферического ядра представляются суммой двух частей: уровней «неподвижного» ядра и энергии его вращения как целого. У четно-четных ядер интервалы вращательной структуры уровней оказываются при этом малыми по сравнению с расстояниями между уровнями «неподвижного» ядра.

Классификация уровней несферического ядра во многом аналогична классификации уровней двухатомной молекулы (состоящей из одинаковых атомов), поскольку симметрия поля, в котором движутся частицы (нуклоны или электроны) в обоих елучаях одинакова. Мы сможем поэтому непосредственно воспользоваться рядом результатов, полученных в гл. XI.

Остановимся сначала на классификации состояний «неподвижного ядра». В поле с аксиальной симметрией сохраняется лишь проекция момента на ось симметрии. Поэтому каждое состояние ядра характеризуется прежде всего величиной Q проекции его полного момента 2), которая может иметь как целые, так и полуцелые значения. В зависимости от поведения волновой функции при изменении знака координат всех нуклонов (по отношению к центру ядра) уровни делятся на четные и нечетные .

Кроме того, при дополнительно различаются положительные и отрицательные состояния — в зависимости от поведения волновой функции при отражении в плоскости, проходящей через ось ядра (см. § 78).

Основные состояния четно-четных несферических ядер яв-ляются состояниями (цифра указывает значение Q), соответствующими равному нулю моменту и наиболее высокой симметрии волновой функции; это обстоятельство является результатом попарного спаривания всех нейтронов и всех протонов. Если же ядро содержит нечетное число протонов или нейтронов, то в нем можно рассматривать состояние «нечетного» нуклона в самосогласованном поле четно-четного «остова» ядра.

При этом значение Q определяется проекцией момента этого нуклона. Аналогично, в нечетно-нечетном ядре значение Q складывается из проекций моментов нечетного нейтрона и нечетного протона

Следует в то же время подчеркнуть, что нельзя говорить об определенных значениях проекций орбитального момента и спина нуклона. Дело в том, что хотя спин-орбитальная связь нуклона и мала по сравнению с энергией его взаимодействия с самосогласованным полем остова, но она не мала по сравнению с расстояниями между соседними уровнями энергии нуклона в этом поле; между тем именно последнее условие требовалось бы для применимости теории возмущений, позволившей бы в хорошем приближении рассматривать раздельно орбитальный момент и спин нуклона

Перейдем к вращательной структуре уровней несферического ядра. Интервалы этой структуры малы по сравнению со спин-орбитальным взаимодействием нуклонов в ядре; такая ситуация соответствует случаю а теории двухатомных молекул (§ 83).

Полный момент вращающегося ядра J, разумеется, сохраняется. При заданном его величина J пробегает значения, начинающиеся от :

(119,1)

(см. (83,2)). Дополнительное ограничение возможных значений J имеет место для ядер с в состояниях и Ой число J пробегает лишь четные значения, а в состояниях — нечетные значения (см. § 86). В частности, во вращательных уровнях основного терма четно-четных ядер число J пробегает значения

Вращательная энергия ядра определяется формулой

(119,2)

где — момент инерции ядра (относительно оси, перпендикулярной к его оси симметрии); эта формула соответствует аналогичному выражению теории двухатомных молекул (зависящий от J член в ). Наиболее низкому уровню соответствует наименьшее возможное значение J, т. е. .

В силу (119,2) вращательная структура уровней характеризуется определенными правилами интервалов, не зависящими (при заданном ) от других характеристик уровня. Так, компоненты вращательной структуры основного терма четно-четного ядра (с ) отстоят от наиболее глубокого уровня на расстояниях, относящихся как

Формула (119,2), однако, недостаточна для состояний с которое может иметь место у ядер с нечетным числом нуклонов. В этом случае возникает сравнимый с (119,2) вклад в энергию, связанный со взаимодействием нечетного нуклона с центробежным полем вращающегося ядра. Его зависимость от J можно найти следующим образом.

Как известно из механики (см. I, § 39), энергия частицы во вращающейся системе координат содержит дополнительный член, равный произведению угловой скорости вращения на момент импульса частицы.

Соответствующий член в гамильтониане ядра можно представить в виде где — некоторая постоянная; К — вращательный момент остова ядра (ядро без последнего нуклона), а а — момент нуклона; последний надо понимать здесь в чисто формальном смысле (в действительности вектор момента нуклона в аксиальном поле ядра не существует), как оператор, аналогичный оператору спина 1/2, дающий переходы между состояниями со значениями проекции момента ±1/2 — в соответствии со значением Поскольку то собственные значения этого оператора

Добавив сюда для удобства не зависящую от J постоянную найдем, что эта величина равна при .

Это выражение можно записать в виде , если учесть, что момент К остова (представляющего собой четночетное ядро) является четным числом. Таким образом, окончательно получаем следующее выражение для вращательной энергии ядра с

(119,3)

(А. Bohr, В. Mottelson, 1953). Отметим, что если постоянная положительна и достаточно велика, то уровень с может оказаться лежащим ниже уровня с J — 1/2, т. е. может нарушиться нормальный порядок вращательных уровней, при котором низший уровень соответствует наименьшему возможному значению

Момент инерции несферического ядра не может быть вычислен как момент инерции твердого тела с заданной формой. Такое вычисление было бы возможно лишь, если бы нуклоны, движущиеся в самосогласованном поле ядра, можно было рассматривать как непосредственно не взаимодействующие друг с другом. В действительности же явление спаривания приводит к уменьшению момента инерции по сравнению со значением, соответствующим твердому телу.

Магнитный момент несферического ядра складывается из магнитного момента «неподвижного» ядра и из момента, связанного с вращением ядра.

Первый направлен (после усреднения по движению нуклонов в ядре) вдоль оси ядра; обозначив величину этого момента как а единичный вектор вдоль оси ядра посредством , напишем его в виде Магнитный же момент, связанный с вращением, направлен (после того же усреднения) вдоль вектора — полного механического момента ядра за вычетом момента нуклонов в «неподвижном ядре» Таким образом,

(119,4)

Здесь есть гиромагнитный множитель вращения ядра-. По. скольку вклад в магнитный момент при вращении дают только протоны, то

где — нейтронная и протонная части момента инерции ядра (для системы из одних только протонов должно было бы быть просто Отношение (119,5), вообще говоря, не совпадает с отношением числа протонов к полной массе ядра.

После усреднения по вращению ядра магнитный момент направлен по сохраняющемуся вектору

Как обычно, умножаем это равенство с обеих сторон на J и переходим к собственным значениям. В основном состоянии ядра и в результате находим

(119,6)

Задачи

1. Выразить квадрупольвый момент вращающегося ядра через явадру вольный июмеш относительно связанных с ядром осей (А. Bohr, 1951).

Решение. Оператор тензора квадрупольного момента вращающегося ядра выражается через посредством

это есть симметричный тензор с равным нулю следом, составленный из компонент единичного вектора вдоль оси ядра, причем

Усреднение по вращательному состоянию ядра проводится подобно решению задачи и § 29 с тем только отличием, что а не нулю) и приводит к выражению вида (75,2) с

Для основного состояния ядра с получим

При возрастании J отношение стремится к 1, но довольно медленно.

2. Определить магнитный момент в основном состоянии ядра с

Решение. В этом случае оператор магнитного момента может быть записан с помощью введенного в тексте оператора о в виде

Дальнейшее вычисление аналогично произведенному в тексте. Если основному уровню ядра отвечает значение (при этом число , то получается . Если же в основном состоянии (при этом ), то

3. Определить энергии нескольких первых уровней вращательной структуры основного состояния четно-четного ядра, имеющего симметрию трехосного эллипсоида.

Решение. Основному состоянию четно-четного ядра соответствует наиболее симметричная волновая функция «неподвижного» ядра, т. е. функция с симметрией, отвечающей представлению А группы Имеется поэтому всего (при четном J) или (при нечетном J) различных уровней при заданном значении J. Для они даются полученной в задачах к § 103 формулой (7), а для — формулой (8).