§ 112. Движение в однородном магнитном поле

Определим уровни энергии частицы в постоянном однородном магнитном поле (Л. Д. Ландау, 1930).

Векторный потенциал однородного поля удобно выбрать здесь не в виде (111,7), а в следующей форме:

(112,1)

(ось z выбрана в направлении поля).

Тогда гамильтониан приобретает вид

Прежде всего замечаем, что оператор коммутативен с гамильтонианом (поскольку последний не содержит операторов других компонент спина). Это значит, что z-проекция спина сохраняется и потому можно заменить собственным значением После этого спиновая зависимость волновой функции становится несущественной и в уравнении Шредингера можно понимать как обычную координатную функцию. Для этой функции имеем уравнение

Гамильтониан этого уравнения не содержит явно координат х и z. Поэтому с ним коммутативны также и операторы (дифференцирования по ), и -компоненты обобщенного импульса сохраняются. Соответственно этому ищем в виде

(112,4)

Собственные значения пробегают все значения от до . Поскольку то -компонента обобщенного импульса совпадает с компонентой обычного импульса . Таким образом, скорость частицы в направлении поля может иметь произвольное значение; можно сказать, что движение вдоль поля «не квантуется».

Подставив (112,4) в (112,3), получим следующее уравнение для функции

(112,5)

где введены обозначения и

(112,6)

Уравнение (112,5) по форме совпадает с уравнением Шредингера (23,6) для линейного осциллятора, колеблющегося с частотой юн. Поэтому мы можем сразу заключить, что выражение в круглых скобках в (112,5), играющее роль энергии осциллятора, может принимать значения () где

Таким образом, получаем следующее выражение для уровней энергии частицы в однородном магнитном поле:

Первый член в этом выражении дает дискретные значения энергии, отвечающие движению в плоскости, перпендикулярной к полю; их называют уровнями Ландау. Для электрона и формула (112,7) принимает вид

(112,8)

Собственные функции отвечающие уровням энергии (112,7), даются формулой (23,12) с соответствующим изменением обозначений

(112,9)

где

В классической механике движение частиц в плоскости, перпендикулярной к полю Н (плоскость ), происходит по окружности с неподвижным центром. Сохраняющаяся в квантовом случае величина соответствует классической -координате центра окружности. Наряду с ней сохраняется также величина (легко убедиться в том, что ее оператор коммутативен с гамильтонианом (112,2)). Эта величина соответствует; классической координате центра окружности. Однако операторы не коммутативны друг с другом, так что координаты не могут иметь одновременно определенных значений.

Поскольку (112,7) не содержит величины пробегающей непрерывный ряд значений, уровни энергии вырождены с непрерывной кратностью. Кратность вырождения, однако, становится конечной, если движение в плоскости ограничено большой, но конечной площадью . Число различных (теперь дискретных) значений в интервале равно Допустимы все значения для которых центр орбиты находится внутри S (мы пренебрегаем радиусом орбиты по сравнению с большим ). Из условий имеем

Следовательно, число состояний (для заданных ) есть Если область движения ограничена также и вдоль оси (длиной ), то число возможных значений в интервале есть и число состояний в этом интервале есть

Для электрона имеет место еще дополнительное вырождение! уровни энергии (112,8) совпадают для состояний с квантовыми числами .

Задачи

1. Найти волновые функции электрона в однородном магнитном поле в состояниях, в которых он обладает определенными значениями импульса и момента вдоль направления поля.

Решение. В цилиндрических координатах с осью вдоль направления поля векторный потенциал в калибровке (111,7) имеет компоненты и уравнение Шредингера

Ищем решение в виде

в для радиальной функции получаем уравнение

Введя новую независимую переменную переписываем это уравнение в виде

При искомая функция ведет себя как а при как . Соответственно этому, ищем решение в виде

и для получаем уравнение вырожденной гипергеометрической функции:

Для того чтобы волновая функция была везде конечной, должна быть целым неотрицательным числом . При этом уровни энергии даются формулой

эквивалентной формуле (112,7). Соответствующие этим уровням радиальные волновые функции

где функции нормированы условием Гипергеометрическая функция здесь есть обобщенный полином Лагерра.

2. Определить нижний уровень энергии, отвечающий связанному состоянию электрона в потенциальной яме малой глубины а — радиус действия сил в яме), на которую наложено также и однородное магнитное поле (Ю. А. Бычков, 1960).

Решение. Поставленное для поля условие обеспечивает (в отсутствие магнитного поля) применимость к нему теории возмущений; при этом связанные состояния в яме отсутствуют (§ 45). При наличии также и магнитного поля поле можно рассматривать как возмущение лишь для движения в поперечной к Н плоскости, характер (дискретный) энергетического спектра которого при наложении U не меняется. Характер же движения в направлении И меняется — оно становится (как будет видно) из инфинитного финитным, т. е. спектр — из непрерывного дискретным; поэтому для этого движения поле ямы не может рассматриваться по теории возмущений

Соответственно этому, при разделении переменных в уравнении Шредингера (уравнение (1) предыдущей задачи, дополненное членом в левой стороне) радиальные функции берем в прежнем виде (2); низшему уровню отвечают аначения квантовых чисел Подставив в уравнение Шредингера , умножив затем уравнение на и проинтегрировав его по получим для уравнение

где

( — снова масса частицы). Это уравнение по форме совпадает уравнением Шредингера для одномерного движения в потенциальной яме , причем — энергия этого движения. Поэтому можно просто воспользоваться результатом задачи 1 к § 45, согласно которому дискретный уровень энергии

Волновая функция затухает на расстояниях Если магнитное поле настолько слабо, что а, то интеграл по определяется областью в которой можно положить Тогда

. В обратном случае сильного магнитного поля, когда интеграл в (4) определяется областью в которой можно положить . Тогда интеграл по сводится к нормировочному интегралу функции и обращается в 1, так что

В обоих случаях оценка интегралов показывает, что

3. Определить уровни энергии атома водорода в магнитном поле настолько сильном, что где — боровский радиус (R. J. Elliott, R. Loudon, 1960).

Решение. При поставленном условии, влияние кулонова поля ядра на движение электрона в поперечной к Н плоскости можно рассматривать как малое возмущение. Мы возвращаемся поэтому к рассмотренной в задаче 2 ситуации, и можно применить уравнение (3), причем

Написав в этом выражении радиальную функцию мы ограничиваемся ниже уровнями энергии продольного движения, относящимися к нулевому уровню Ландау поперечного движения.

Волновая функция основного состояния, простирается на расстояния медленно меняясь на их протяжении (не имея нулей, она не обращается в нуль при Поэтому для основного уровня выполняются условия, использованные в решении задачи 1 § 45, и можно воспользоваться основанной на этом решении формулой (6). При этом логарифмически расходящийся интеграл «обрезается» сверху на расстояниях а внизу — на расстояниях и замена на в (7) не допустима). В результате находим

Эта формула имеет, как говорят, логарифмическую точность: предполагается, что не только само отношение но и его логарифм велики; при этом числовой множитель в аргументе логарифма остается неопределенным.

Возбужденные состояния дискретного спектра получаются как решения уравнения Шредингера (3) с полем (получающимся из (7) при . Но это уравнение подстановкой приводится к виду

совпадающему по форме с уравнением для радиальных волновых функций -состояний в трехмерной кулоновой задаче.

Поэтому искомые уровни даются формулой (36,10)

причем . Это выражение тоже имеет лишь логарифмическую точность — следующий поправочный член был бы мал по сравнению с основным лишь в отношении .

Уравнение (9) определяет волновую функцию лишь при она может быть продолжена в область как или . Соответственно этому, в рассмотренном приближении уровни (10) двукратно вырождены. Это вырождение, однако, снимается в высших приближениях по