МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ
§ а. Полиномы Эрмита
Уравнение
относится к типу уравнений, которые могут быть решены с помощью метода Лапласа
Этот метод применим вообще к линейным уравнениям вида
коэффициенты которого не выше первой степени по х, и заключается в следующем. Составляем полиномы
и с их помощью функцию
определенную с точностью до постоянного множителя. Тогда решение рассматриваемого уравнения может быть выражено в виде комплексного интеграла
где путь интегрирования С выбран так, чтобы интеграл имел значение конечное и отличное от нуля, причем функция
должна возвращаться к своему начальному значению, после того как t опишет всю линию С (контур С может быть как замкнутым, так и незамкнутым). В случае уравнения 
имеем
так что его решение имеет вид
Для физических применений достаточно ограничиться рассмотрением значений 
Для таких 
можно выбрать в качестве пути интегрирования контуры 
или 
(рис. 52), удовлетворяющие необходимым условиям, поскольку на их концах 
или 
функция V обращается в нуль.
Рис. 52
Рис. 53
Выясним, при каких значениях параметра 
уравнение 
имеет решения, конечные при всех конечных значениях 
и стремящиеся при 
к бесконечности не быстрее конечной степени 
Рассмотрим сначала нецелые значения п. Интегралы 
по 
дают здесь два независимых решения уравнения (а, 1). Преобразуем интеграл по 
введя переменную и согласно 
Находим, опуская постоянный множител
где интегрирование производится по контуру 
в плоскости комплексного переменного и, изображенному на рис. 53.
При 
весь путь интегрирования 
сдвигается на бесконечность, и интеграл в формуле 
стремится к нулю, как 
Но при 
путь интегрирования простирается вдоль всей вещественной оси, и интеграл в 
не стремится к нулю экспоненциально, так что функция у 
обращается в бесконечность в основном, как 
Аналогично легко убедиться в том, что интеграл 
по контуру 
расходится экспоненциально при 
При целых же положительных значениях 
(включая значение нуль) интегралы вдоль прямолинейных участков пути интегрирования взаимно уничтожаются, и оба интеграла 
— по 
и 
— сводятся к интегралу по замкнутому пути вокруг точки 
Таким образом, мы получим решение
удовлетворяющее поставленным условиям. Согласно известной формуле Коши для производных от аналитической функции
это есть, с точностью до постоянного множителя, полином Эрмита
В раскрытом виде полином 
расположенный по убывающим степеням 
имеет вид
Он содержит степени 
только той же четности, что и число 
. Выпишем несколько первых полиномов Эрмита
Для вычисления нормировочного интеграла заменяем 
выражением из 
и, интегрируя 
раз по частям, получим
Но 
есть постоянная, равная 
в результате получим
