МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ

§ а. Полиномы Эрмита

Уравнение

относится к типу уравнений, которые могут быть решены с помощью метода Лапласа

Этот метод применим вообще к линейным уравнениям вида

коэффициенты которого не выше первой степени по х, и заключается в следующем. Составляем полиномы

и с их помощью функцию

определенную с точностью до постоянного множителя. Тогда решение рассматриваемого уравнения может быть выражено в виде комплексного интеграла

где путь интегрирования С выбран так, чтобы интеграл имел значение конечное и отличное от нуля, причем функция

должна возвращаться к своему начальному значению, после того как t опишет всю линию С (контур С может быть как замкнутым, так и незамкнутым). В случае уравнения имеем

так что его решение имеет вид

Для физических применений достаточно ограничиться рассмотрением значений Для таких можно выбрать в качестве пути интегрирования контуры или (рис. 52), удовлетворяющие необходимым условиям, поскольку на их концах или функция V обращается в нуль.

Рис. 52

Рис. 53

Выясним, при каких значениях параметра уравнение имеет решения, конечные при всех конечных значениях и стремящиеся при к бесконечности не быстрее конечной степени Рассмотрим сначала нецелые значения п. Интегралы по дают здесь два независимых решения уравнения (а, 1). Преобразуем интеграл по введя переменную и согласно Находим, опуская постоянный множител

где интегрирование производится по контуру в плоскости комплексного переменного и, изображенному на рис. 53.

При весь путь интегрирования сдвигается на бесконечность, и интеграл в формуле стремится к нулю, как Но при путь интегрирования простирается вдоль всей вещественной оси, и интеграл в не стремится к нулю экспоненциально, так что функция у обращается в бесконечность в основном, как Аналогично легко убедиться в том, что интеграл по контуру расходится экспоненциально при

При целых же положительных значениях (включая значение нуль) интегралы вдоль прямолинейных участков пути интегрирования взаимно уничтожаются, и оба интеграла — по и — сводятся к интегралу по замкнутому пути вокруг точки

Таким образом, мы получим решение

удовлетворяющее поставленным условиям. Согласно известной формуле Коши для производных от аналитической функции

это есть, с точностью до постоянного множителя, полином Эрмита

В раскрытом виде полином расположенный по убывающим степеням имеет вид

Он содержит степени только той же четности, что и число . Выпишем несколько первых полиномов Эрмита

Для вычисления нормировочного интеграла заменяем выражением из и, интегрируя раз по частям, получим

Но есть постоянная, равная в результате получим