§ 108. 6j-символы

Мы определили в § 106 3j-символы как коэффициенты в сумме (106,4), представляющей собой волновую функцию системы трех частиц G равным нулю полным моментом. С точки зрения трансформационных свойств по отношению к вращениям эта сумма является скаляром.

Отсюда следует, что набор -символов с заданными значениями (и всеми возможными ) можно рассматривать как совокупность величин, преобразующихся при вращениях по закону, контраградиентному закону преобразования произведений — так, чтобы обеспечить инвариантность всей суммы.

Рис. 45

В связи с такой точкой зрения можно поставить вопрос о построении скаляра, составленного из одних только -СИМВОЛОВ. Такой скаляр должен зависеть только от чисел но не от чисел , меняющихся при вращениях. Другими словами, он должен выражаться в виде сумм по всем числам т. Каждое такое суммирование состоит в «упрощении» произведения двух 3j-символов по правилу.

(ср. способ составления скаляра (106,2)).

Поскольку в каждом «упрощении» фигурирует пара чисел , для составления полного скаляра надо рассматривать произведения четного числа -символов. Упрощение произведения двух -символов приводит, в силу свойства их ортогональности, к тривиальному результату!

(здесь использовано равенство и формулы (106,6) и (106,12)). Поэтому наименьшее число сомножителей, необходимое для получения нетривиального скаляра, равно четырем. В каждом -символе три числа составляют геометрически замкнутый треугольник. Поскольку каждое число должно фигурировать, при «упрощении», в двух -символах, то ясно, что при составлении скаляра из произведений четырех -символов имеется 6 чисел которые геометрически должны изображаться длинами ребер неправильного тетраэдра (рис. 45); каждому из -символов соответствует одна из его граней.

В определении искомого скаляра принято определенное условие в отношении проведения процесса упрощения, выражаемое следующей формулой:

(108,2)

Суммирование производится здесь по всем возможным значениям всех чисел ; поскольку, однако, сумма трех в каждом -символе должна быть равна нулю, фактически лишь три из шести независимы. Величины, определенные формулой (108,2), называют -символами или коэффициентами Рака.

Из определения (108,2), с учетом свойств симметрии -сим-волов, легко убедиться в том, что -символ не меняется при любой перестановке трех его столбцов, а в каждой паре столбцов можно переставить верхнее и нижнее числа. В силу этих свойств симметрии последовательность чисел в -символе можно представить в 24 эквивалентных видах 2). Кроме того, -символы обладают еще одним, менее очевидным, свойством симметрии, устанавливающим равенство между символами с различными наборами чисел

(108,3)

Укажем полезное соотношение между и -символами, которое можно получить с помощью определения (108,2):

Выражение, суммируемое в левой стороне равенства, отличается от суммы в (108,2), отсутствием одного множителя (-символа). Можно сказать поэтому, что сумма в (108,4) изображается тетраэдром (рис. 45) без одной из его граней; этим определяется отличие суммы от скаляра.

Другими словами, по своим трансформационным свойствам она соответствует одному -символу — стоящему в правой стороне равенства (108,4), которому она должна быть пропорциональна. Коэффициент же пропорциональности (-сим-вол в правой стороне, равенства) легко получить, умножив обе стороны равенства на и просуммировав по оставшимся числам

-символы появляются естественным образом при рассмотрении следующего вопроса, связанного со сложением трех моментов.

Пусть три момента складываются в результирующий момент J. Заданием момента J (и его проекции М) состояние системы, однако, еще не определяется однозначным образом; оно зависит и от способа сложения моментов (или, как говорят, от схемы их связи).

Рассмотрим, например, такие две схемы связи! 1) сначала моменты складываются в суммарный момент а затем складываются в окончательный момент J; 2) моменты складываются в Первой схеме соответствуют состояния, в которых (наряду с имеет определенное значение величина их волновые функции обозначим как (опуская, для краткости, повторяющиеся индексы Аналогично, волновые функции второй схемы связи обозначим как В обоих случаях значения «промежуточного» момента или ), вообще говоря, неоднозначны, так что мы имеем (при заданных J, М) два различных набора состояний, различающихся значениями или Согласно общим правилам функции этих двух наборов связаны друг с другом определенным унитарным преобразованием

(108,5)

Из физических соображений очевидно, что коэффициенты этого преобразования не зависят от числа М — они не могут зависеть от ориентации всей системы в пространстве. Таким образом, они зависят лишь от значений шести моментов но не от их проекций, т. е. являются скалярными (в указанном выше смысле) величинами. Фактическое вычисление этих коэффициентов легко произвести следующим образом.

Путем двукратного применения формулы (106,9) находим

(знак ) под знаком суммы означает, что суммирование производится по всем входящим в выражение числам

Используя ортонормированность функций , найдем теперь

Сумма в правой стороне равенства берется при заданном значении М, но результат суммирования в действительности (по указанной выше причине) от М не зависит. Поэтому суммирование можно распространить и по значениям М, введя при этом перед суммой множитель . Выражая затем коэффициенты через -символы согласно (106,10), получим:

(108,6)

Связь -символов с коэффициентами преобразования (108,5) позволяет легко получить некоторые полезные формулы для суммирования произведений -символов.

Прежде всего, в силу унитарности преобразования (108,5) (и вещественности его коэффициентов), имеет место соотношение

(108,7)

Далее рассмотрим три схемы связи трех моментов — с промежуточными суммами соответственно Коэффициенты соответствующих преобразований (108,6) связаны между собой, согласно правилу умножения матриц, соотношением

Подставив сюда (108,6) и изменив обозначение индексов, получим

Наконец, путем рассмотрения различных схем связи четырех моментов можно получить следующую формулу сложения для произведений трех -символов:

Приведем, для справок, некоторые явные выражения для -символов

-символ может быть представлен в общем случае в виде следующей суммы:

где

а сумма берется по всем положительным целым значениям , при которых ни один из факториалов в знаменателе не имеет отрицательного аргумента.

В табл. 10 даны формулы -символов для случаев, когда один из параметров равен 0, 1/2 или 1.

Таблица 10. Формулы для -символов

В заключение сделаем несколько замечаний о составляемых из -символов скалярах более высокого порядка.

Следующим по сложности после -символа является скаляр, составляемый путем упрощения произведений шести -символов. Эти -символы содержат 18 попарно совпадающих чисел так что возникающий в результате скаляр зависит от 9 параметров Его принято называть -символом и определять следующим образом (Е. Wigner, 1951);

Эта величина может быть также представлена в виде суммы произведений трех -символов:

(108,12)

В эквивалентности (108,11) и (108,12) можно убедиться, подставив в (108,12) определение (108,2) и воспользовавшись свойствами ортогональности -символов.

-символ обладает высокой симметрией, следующей непосредственно из определения (108,11) и свойств симметрии -символов. Легко убедиться, что при перестановке любых его двух строк или двух столбцов -символ умножается на Кроме того, -символ не меняется при транспонировании, т. е. при взаимной замене строк и столбцов.

Скаляры еще более высоких порядков зависят от еще большего числа параметров Очевидно, что это число должно быть всегда кратно трем (-символы). Мы не будем останавливаться здесь на свойствах этих величин. Упомянем лишь, что при каждом имеется более чем по одному различному не сводящемуся друг к другу типу -символов. Так, имеется два различных типа -символов.