§ 132. Рассеяние медленных частиц

Рассмотрим свойства упругого рассеяния в предельном случае малых скоростей рассеиваемых частиц. Именно, скорость предполагается настолько малой, что длина волны частицы велика по сравнению с радиусом а действия поля (т. е. а ее энергия мала по сравнению с величиной поля внутри этого радиуса. Решение этого вопроса требует выяснения предельного закона зависимости фаз от волнового вектора k при малых значениях последнего.

При в точном уравнении Шредингера (123,7) можно пренебречь лишь членом с

(132,1)

В области же можно опустить также и член с , так что остается

(132,2)

Общее решение этого уравнения

(132,3)

Значения постоянных и могут быть в принципе определены лишь путем решения уравнения (132,1) с конкретной функцией ; они, разумеется, различны для разных

На еще больших расстояниях, в уравнении Шредингера может быть опущен член с , но нельзя пренебрегать так что имеем

(132,4)

т. е. уравнение свободного движения.

Решение этого уравнения (см. § 33)

Постоянные коэффициенты выбраны здесь таким образом, чтобы при это решение переходило бы в (132,3); тем самым достигается «сшивание» решения (132,3) в области 1 с решением (132,5) в области

Наконец, при решение (132,5) принимает асимптотический вид (§ 33)

Эта сумма может быть представлена в виде

(132,6)

где фаза определяется равенством

(132,7)

(ввиду малости k все фазы оказываются малыми).

Согласно (123,15) парциальные амплитуды рассеяния

и мы приходим к выводу, что в предельном случае малых энергий

(132,8)

Таким образом, все парциальные амплитуды оказываются малыми по сравнению с амплитудой рассеяния с (или, как говорят, -рассеяния). Пренебрегая ими, имеем для полной амплитуды

(132,9)

так что а полное сечение

(132,10)

При малых скоростях рассеяние оказывается изотропным по всем направлениям, а его сечение не зависит от энергии частиц.

Постоянную величину а называют длиной рассеяния, она может быть как положительной, так и отрицательной.

В изложенных рассуждениях молчаливо подразумевалось, что поле убывает на больших расстояниях достаточно быстро для того, чтобы сделанные пренебрежения были законными. Легко выяснить, какова именно должна быть требуемая быстрота убывания . При больших второй член в функции мал по сравнению с первым. Для того чтобы его сохранение было тем не менее законным, оставленные в уравнении (132,2) малые члены должны быть все же велики по сравнению с членом опущенным при переходе от (132,1) к (132,2). Отсюда следует, что должно убывать быстрее, чем для того, чтобы был справедливым закон (132,8) для парциальной амплитуды . В частности, вычисление а потому и результат (132,9) о не зависящем от энергии изотропном рассеянии справедливы лишь при более быстром, чем убывании на больших расстояниях.

Если поле убывает на больших расстояниях по экспоненциальному закону, то можно сделать определенные заключения о характере дальнейших членов разложения амплитуд по степеням k. Мы видели в § 128, что в этом случае амплитуда рассматриваемая как функция комплексной переменной Е, вещественна при вещественных отрицательных значениях То же самое относится поэтому и к функции в выражении (125,15)

(при вещественно). С другой стороны, функция вещественна (по ее определению) при Таким образом, функция оказывается вещественной при всех вещественных Е, а потому должна разлагаться по целым степеням Е, т. е. по четным степеням k. О самой же амплитуде можно, следовательно, сказать, что она разлагается по целым степеням все члены с четными степенями k вещественны, а члены с нечетными степенями k мнимы. Согласно (132,8) разложение начинается с члена соответственно этому разложение начинается с члена, пропорционального

При убывании поля на больших расстояниях по степенному закону результат (132,9) о постоянной амплитуде, как уже было указано, несправедлив.

Рассмотрим ситуацию, возникающую при различных значениях .

Для при достаточно малых скоростях, практически при всех значениях прицельного параметра выполняется условие

(132,11)

и потому рассеяние описывается классическими формулами (ср. условие (127,9)).

При неравенство (132,11) выполняется в значительной области не слишком больших ; соответственно этому, оказывается классическим рассеяние на не слишком малые углы.

В то же время существует область значений , для которых

(132,12)

т. е. выполняется условие применимости теории возмущений (ср. (126,2)).

При на больших расстояниях имеет место неравенство

(132,13)

и поэтому вклад в рассеяние, возникающий от взаимодействия на этих расстояниях, может быть вычислен с помощью теории возмущений (в то время как на более близких расстояниях условие применимости теории возмущений может и не выполняться). Пусть есть такое значение , что при имеет место неравенство (132,13), и в то же время Вклад в амплитуду рассеяния от области расстояний согласно (126,12), дается интегралом

(132.14)

При этот интеграл сходится на нижнем пределе и для малых скоростей можно заменить этот предел нулем, так что интеграл оказывается пропорциональным т. е. отрицательной степени скорости. Этот вклад в амплитуду является, следовательно, в данном случае основным, так что

(132,15)

Тем самым определяется зависимость сечения рассеяния от скорости частиц и от угла рассеяния.

При интеграл (132,14) расходится логарифмически на нижнем пределе. При этом он все еще является главной частью амплитуды рассеяния, так что

(132,16)

При вклад от области убывает при и рассеяние определяется постоянной амплитудой (132,9), Однако вклад (132,14) в амплитуду рассеяния, несмотря на свою относительную малость, и в этом случае представляет определенный интерес в силу его «аномальности». «Нормальной» ситуацией при достаточно быстром убывании является разложимость по целым степеням k, причем все вещественные члены разложения оказываются пропорциональными четным степеням k. Между тем, взяв интеграл (132,14) несколько раз по частям (понижая при этом степень в знаменателе), мы выделим из него часть, содержащую четные степени k, после чего останется сходящийся при интеграл, пропорциональный степени которая, вообще говоря, не является четной 1).

Задачи

1. Определить сечение рассеяния медленных частиц сферической прямоугольной потенциальной ямой глубины и радиуса а.

Решение. Волновой вектор частицы предполагается удовлетворяющим условиям где Нас интересует только фаза 60. Поэтому полагаем в уравнении (132,1) и получаем для функции уравцение при Решение этого уравнения, обращающееся в нуль при должно быть конечным при есть

При функция удовлетворяет уравнению (уравнение (132,4) с ), откуда

Условие непрерывности при дает

откуда определяем 60. В результате для амплитуды рассеяния получим 2)

При эта формула дает в согласии с результатом борновского приближения (см. задачу 1 § 126).

2. То же для рассеяния на прямоугольном сферическом «потенциальном горбе» высоты

Решение получается из решения предыдущей задачи заменой на (в связи с чем надо заменить х на ) Амплитуда рассеяния

В предельном случае имеем

Этот результат соответствует рассеянию от непроницаемой сферы радиуса а; отметим, что классическая механика дала бы величину, в четыре раза меньшую ).

3. Определить сечение рассеяния частиц с малой энергией в поле

Решение. Уравнение (132,1) с есть

Подстановками

оно приводится к виду

т. е. к уравнению для функции Бесселя порядка от мнимого аргумента Решение, обращающееся в нуль при (т. е. при ), есть, с точностью до постоянного множителя,

С помощью известных формул

получаем для функции на больших расстояниях выражение вида и по отношению находим амплитуду рассеяния

4. Определить амплитуду рассеяния медленных частиц в поле, убывающем на больших расстояниях по закону

Решение. Главный член в амплитуде рассеяния дается выражением (132,14), в котором нижний предел интеграла можно заменить нулем. Вычисление интеграла приводит к результату:

и при

Разложив (1) по полиномам Лежандра, можно получить парциальные амплитуды рассеяния (определенные согласно (123,14))

При та же формула (1) определяет «аномальную» часть амплитуды рассеяния. В парциальных же амплитудах величина (3) всегда является основной для таких значений I, для которых вместо (132,8) имеем при этом

5. Определить амплитуду рассеяния медленных частиц в поле

Решение. После замены переменной

уравнение (132,1) для функции принимает вид

Общее решение этого уравнения:

где — функции Бесселя соответственно первого и второго рода. Условие при дает

Области же отвечают (при этом, конечно, подразумевается, что ); здесь

где (С — постоянная Эйлера). Это выражение отвечает формуле (132,3) и по полученным таким образом значениям с и находим амплитуду рассеяния

В предельном случае (в согласии с формулой борновского приближения ). При имеем

6. Во втором приближении теории возмущений определить амплитуду рассеяния в предельном случае малых энергий (И. Я. Померанчук, 1948).

Решение. При интеграл во втором члене формулы (130,13) принимает вид

мы воспользовались здесь формулой

(см. II, § 51). Таким образом, амплитуда рассеяния

В случае центрального поля эта формула дает

Второй член в формуле (1) всегда положителен (как это ясно из исходного выражения интеграла в пространстве). Отсюда следует, что в поле отталкивания первое борновское приближение дает всегда завышенный, а в поле притяжения — заниженный результат для сечения рассеяния при малых энергиях.

7. Определить зависимость от энергии амплитуды рассеяния медленных частиц в двумерном случае.

Решение. Волновая функция на больших расстояниях дается в двумерном случае формулой (1) задачи к § 124. Рассуждения, аналогичные проведенным в трехмерном случае, показывают, что главный вклад в рассеяние при малых энергиях вносит состояние с так что амплитуда рассеяния f не зависит от угла рассеяния Это позволяет записать волновую функцию на всех расстояниях просто заменив на точное решение уравнения Шредингера свободного движения, имеющее такую асимптотику. (См примечание на стр. 198 и задачу 6 к § 126.) Таким образом

Перейдем в (1) к области малых расстояний с используя приближенное выражение для при малых :

, С — постоянная Эйлера. Получаем:

Формула (2), как и должно быть, соответствует общему решению уравнения в области — где в уравнении Шредингера можно пренебречь членами с и Е:

Как и в (132,3), (132,9) отношение постоянных определяется решением уравнения Шредингера с в области . Это отношение вещественно и не зависит от энергии. Обозначим

где — постоянная размерности длины.

Сравнивая (2) с (3), находим

откуда сечение

Мы видим, что в двумерном случае, в отличие от трехмерного, сечение рассеяния возрастает с уменьшением энергии.

Заметим, что при рассеянии на бесконечно высоком цилиндрическом потенциальном барьере радиуса а постоянная в (3) совпадает с а.