ГЛАВА III. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА

§ 17. Уравнение Шредингера

Вид волнового уравнения физической системы определяется ее гамильтонианом, приобретающим в силу этого фундаментальное значение во всем математическом аппарате квантовой механики.

Вид гамильтониана свободной частицы устанавливается уже общими требованиями, связанными с однородностью и изотропией пространства и принципом относительности Галилея. В классической механике эти требования приводят к квадратичной зависимости энергии частицы от ее импульса: где постоянная называется массой частицы (см. I, § 4). В квантовой механике те же требования приводят к такому же соотношению для собственных значений энергии и импульса — одновременно измеримых сохраняющихся (для свободной частицы) величин.

Но для того чтобы соотношение имело место для всех собственных значений энергии и импульса, оно должно быть справедливым и для их операторов:

Подставив сюда (15,2), получим гамильтониан свободно движущейся частицы в виде

где — оператор Лапласа.

Гамильтониан системы невзаимодействующих частиц равен сумме гамильтонианов каждой из них:

где индекс а нумерует частицы; — оператор Лапласа, в котором дифференцирование производится по координатам частицы.

В классической (нерелятивистской) механике взаимодействие частиц описывается аддитивным членом в функции Гамильтона — потенциальной энергией взаимодействия являющейся функцией координат частиц.

Прибавлением такой же функции к гамильтониану системы описывается и взаимодействие частиц в квантовой механике:

первый член можно рассматривать как оператор кинетической энергии, а второй — как оператор потенциальной энергии. В частности, гамильтониан для одной частицы, находящейся во внешнем поле,

где U(х, у, z) — потенциальная энергия частицы во внешнем поле.

Подстановка выражений (17,2)-(17,5) в общее уравнение (8,1) дает волновые уравнения для соответствующих систем. Выпишем здесь волновое уравнение для частицы во внешнем поле

Уравнение же (10,2), определяющее стационарные состояния, принимает вид

Уравнения (17,6), (17,7) были установлены Шредингером в 1926 г. и называются уравнениями Шредингера.

Для свободной частицы уравнение (17,7) имеет вид

Это уравнение имеет конечные во всем пространстве решения при любом положительном значении энергии Е. Для состояний с определенными направлениями движения этими решениями являются собственные функции оператора импульса, причем . Полные (зависящие от времени) волновые функции таких стационарных состояний имеют вид

(17,9)

Каждая такая функция — плоская волна — описывает состояние, в котором частица обладает определенными энергией Е и импульсом . Частота этой волны равна а ее волновой вектор соответствующую длину волны называют де-бройлевской длиной волны частицы.

Энергетический спектр свободно движущейся частицы оказывается, таким образом, непрерывным, простираясь от нуля до Каждое из этих собственных значений (за исключением только значения вырождено, причем вырождение — бесконечной кратности. Действительно, каждому отличному от нуля значению Е соответствует бесконечное множество собственных функций (17,9), отличающихся направлениями вектора при одинаковой его абсолютной величине.

Проследим, каким образом происходит в уравнении Шредингера предельный переход к классической механике, рассматривая для простоты всего одну частицу во внешнем поле. Подставив в уравнение Шредингера (17,6) предельное выражение (6,1) волновой функции получим, произведя дифференцирования,

В этом уравнении имеются чисто вещественные и чисто мнимые члены (напомним, что S и а вещественны); приравнивая те и другие в отдельности нулю, получим два уравнения:

Пренебрегая в первом из этих уравнений членом, содержащим получим

(17,10)

т. е., как и следовало, классическое уравнение Гамильтона — Якоби для действия S частицы. Мы видим, кстати, что при классическая механика справедлива с точностью до величин первого (а не нулевого) порядка по включительно.

Второе из полученных уравнений после умножения на 2а может быть переписано в виде

Это уравнение имеет наглядный физический смысл: есть плотность вероятности нахождения частицы в том или ином месте пространства есть классическая скорость v частицы. Поэтому уравнение (17,11) есть не что иное, как уравнение непрерывности, показывающее, что плотность вероятности «перемещается» по законам классической механики с классической скоростью v в каждой точке.

Задача

Найти закон преобразования волновой функции при преобразовании Галилея.

Решение. Произведем преобразование над волновой функцией свободного движения частицы (плоской волной). Поскольку всякая функция может быть разложена по плоским волнам, то тем самым будет найден закон преобразования и для произвольной волновой функции.

Плоские волны в системах отсчета К и К' (К' движется относительно К со скоростью V):

причем а импульсы и энергии частицы в обеих системах связаны друг с другом формулами

(см. I, § 8), Подставив эти выражения в получим

В таком виде эта формула уже не содержит величин, характеризующих свободное движение частицы, и устанавливает искомый общий закон преобразования волновой функции произвольного состояния частицы. Для системы частиц в показателе экспоненты в (1) должна стоять сумма по частицам.