§ 49. Квазиклассическое движение в центрально-симметричном

При движении в центрально-симметричном поле волновая функция частицы распадается, как мы знаем, на угловую и радиальную части. Рассмотрим сначала первую из них.

Зависимость угловой волновой функции от угла (определяющаяся квантовым числом ) настолько проста, что вопрос о нахождении для нее приближенных формул вообще не возникает. Что же касается зависимости от полярного угла в, то, согласно общему правилу, она квазиклассична, если соответствующее ей квантовое число I велико (более точная формулировка этого условия будет дана ниже).

Мы ограничимся здесь выводом квазиклассического выражения угловой функции лишь для наиболее важного в применениях случая состояний с равным нулю магнитным квантовым числом ) Эта функция совпадает с точностью до постоянного множителя с полиномом Лежандра (см. (28,8)) и удовлетворяет дифференциальному уравнению

Подстановкой

оно приводится к уравнению

не содержащему первой производной и по виду аналогичному одномерному уравнению Шредингера.

В уравнении (49,3) роль «дебройлевской длины волны» играет

Требование малости производной (условие (46,6)) приводит к неравенствам

(условия квазиклассичности угловой части волновой функции). При больших l эти условия выполняются почти во всем интервале значений , за исключением лишь области углов, очень близких к нулю или к .

При выполнении условия (49,4) в (49,3) можно пренебречь вторым членом в квадратных скобках по сравнению с первым!

Решение этого уравнения:

( — постоянные).

Для углов в уравнении (49,1) можно положить ; заменяя также приближенно на получим уравнение

которое имеет решением функцию Бесселя нулевого порядка

Постоянный множитель положен равным единице, так как при должно быть Приближенное выражение (49,6) для справедливо при всех углах 0 С 1. В частности, его можно применить и для углов в области 1/1 0 1, где оно должно совпадать с выражением (49,5), справедливым при всех При бесселеву функцию можно заменить ее асимптотическим выражением для больших значений аргумента, и мы получим

(в коэффициенте можно пренебречь 1/2 по сравнению с ). Сравнивая с (49,5), находим, что Таким образом, получаем окончательно следующее выражение для ), применимое в квазиклассическом случае:

Нормированная же сферическая функция получается отсюда в виде

Перейдем к радиальной части волновой функции. В § 32 было показано, что функция удовлетворяет уравнению, тождественному одномерному уравнению Шредингера с потенциальной энергией

Поэтому мы можем применить полученные в предыдущих параграфах результаты, понимая под потенциальной энергией функцию .

Наиболее прост случай Центробежная энергия отсутствует, и если поле удовлетворяет необходимому условию (46,6), то радиальная волновая функция будет квазиклассической во всем пространстве. При должно быть поэтому квазиклассическая функция определяется в соответствии с формулами (47,6).

Если же , то условию (46,6) должна удовлетворять также и центробежная энергия. В области небольших , где центробежная энергия порядка величины полной энергии, длина волны и условие (46,6) дает Таким образом, если l невелико, в области небольших условие квазиклассичности нарушается центробежной энергией. Можно легко убедиться в том, что мы получим правильное значение фазы квазиклассической волновой функции если будем вычислять ее по формулам одномерного движения, заменив в потенциальной энергии коэффициент на

Вопрос о применимости квазиклассического приближения к кулонову полю требует особого рассмотрения. Из всей области движения наиболее существенна часть, соответствующая расстояниям , при которых Условие квазиклассичности движения в области сводится к требованию малости длины волны X. по сравнению с размерами области; это дает

(49,10)

т. е. абсолютное значение энергии должно быть мало по сравнению с энергией частицы на первой боровской орбите. Условие (49,10) можно написать также и в виде

где — скорость частицы. Обратим внимание на то, что это условие обратно условию (45,7) применимости теории возмущений к кулонову полю.

Что касается области малых расстояний то в кулоновом поле отталкивания она вообще не представляет интереса, поскольку при квазиклассические волновые функции затухают экспоненциально. В поле же притяжения при малых I возможно проникновение частицы в область, где так что возникает вопрос о границах применимости здесь квазиклассического приближения. Воспользуемся общим условием (46,7), положив в нем

В результате найдем, что область применимости квазиклассического приближения ограничивается расстояниями

(49,12)

т. е. расстояниями, большими по сравнению с «радиусом» первой боровской орбиты.

Задача

Определить поведение волновой функции вблизи начала координат, если при поле обращается в бесконечность, как

Решение. При достаточно малых длина волны

так что

таким образом выполняется условие квазиклассичности. В поле притяжения при Область вблизи начала координат в этом случае классически доступва и радиальная волновая функция откуда

В поле отталкивания область малых классически недоступна. В этом случае волновая функция при экспоненциально стремится к нулю. Опуская множитель при экспоненциальной функции, имеем