§ 124. Исследование общей формулы

Полученные формулы применимы в принципе к рассеянию в любом поле ), обращающемся на бесконечности в нуль. Исследование этих формул сводится к исследованию свойств входящих в них фаз

Для оценки порядка величины фаз с большими значениями I воспользуемся тем, что при больших движение квазиклассично (см. § 49). Поэтому фаза волновой функции определяется интегралом

где есть корень подкоренного выражения есть классически доступная область движения). Вычтя отсюда фазу

волновой функции свободного движения и положив мы получим, по определению, величину . При больших l значение тоже велико; поэтому во всей области интегрирования мало, и мы получаем приближенно

(124,1)

По порядку величины этот интеграл (если он сходится) равен

Порядок величины есть

Если обращается на бесконечности в нуль, как то интеграл (124,1) сходится и фазы конечны.

Напротив, при интеграл расходится, так что фазы оказываются бесконечными. Это относится к произвольным I, так как сходимость или расходимость интеграла (124,1) зависит от поведения при больших , а на больших расстояниях (где поле уже слабо) радиальное движение квазиклассично при любом I. Как надо понимать формулы при бесконечных будет указано ниже.

Рассмотрим сначала сходимость ряда (123,12), представляющего полное сечение рассеяния. При больших фазы как это видно из (124,1), если учесть, что спадает быстрее, чем Поэтому можно положить и, таким сумма далеких членов ряда (123,12) будет порядка гласно известному интегральному признаку сходимости рядов заключаем, что рассматриваемый ряд сходится, интеграл Подставив сюда (124,2) и заменив на получим интеграл

Если спадает на бесконечности, как этот интеграл сходится, и полное сечение конечно. Напротив, если поле убывает, как или еще медленнее, то полное сечение оказывается бесконечным. Физически это связано с тем, что при медленном убывании поля с расстоянием вероятность рассеяния на малые углы становится очень большой. Напомним в этой связи, что в классической механике во всяком поле, обращающемся в нуль только при частица, проходящая на любом сколь угодно большом, но конечном, прицельном расстоянии , все же испытывает отклонение на некоторый малый, но отличный от нуля угол; поэтому полное сечение рассеяния оказывается бесконечным при всяком законе спадания . В квантовой механике такое рассуждение неприменимо уже потому, что говорить о рассеянии на некоторый угол можно лишь при условии, чтобы этот угол был велик по сравнению с неопределенностью в направлении движения частицы. Если же прицельное расстояние известно с точностью до то тем самым создается неопределенность в поперечной компоненте импульса, т. е. неопределенность в угле.

Ввиду большой роли, которую играет рассеяние на малые углы при медленном законе убывания , естественно возникает вопрос — не будет ли расходиться амплитуда рассеяния при даже при , убывающем быстрее чем

Положив в получаем для далеких членов суммы выражение, пропорциональное 2 Рассуждая как в предыдущем случае, приходим при отыскании критерия конечности суммы к интегралу

расходящемуся уже при Таким образом» амплитуда рассеяния обращается в бесконечность при в полях, спадающих как или медленнее.

Наконец, остановимся на случае, когда сама фаза 8 бесконечна, что имеет место при . Заранее очевидно из полученных выше результатов, что при таком медленном убывании поля будет бесконечным как полное сечение, так и амплитуда рассеяния при . Остается, однако, вопрос о вычислении для . Прежде всего заметим, что имеет место формула

(124,3)

Другими словами, при всех эта сумма равна нулю. Поэтому в выражении (123,11) для амплитуды рассеяния можно при опустить единицу в квадратных скобках в каждом члене суммы, так что останется

(124,4)

Если умножить правую сторону равенства на постоянный множитель то это не скажется на сечении, определяемом квадратом модуля а фаза комплексной функции изменится лишь на несущественную постоянную. С другой стороны, в разности выражений (124,1) расходящийся интеграл от сокращается и остается некоторая конечная величина. Таким образом, для вычисления амплитуды рассеяния в рассматриваемом случай можно пользоваться формулой

(124,5)