§ b. Функция Эйри

Уравнение

тоже относится к типу Лапласа. Следуя общему методу, составляем функции

так что решение может быть представлено в виде

причем путь интегрирования С должен быть выбран так, чтобы на обоих его концах функция V обращалась в нуль. Для этого эти концы должны уходить на бесконечность в тех областях плоскости комплексного переменного t, в которых (на рис. 54 эти области заштрихованы).

Решение, конечное при всех получим, выбрав путь С так, как это изображено на рисунке. Он может быть смещен произвольным образом, при условии только, чтобы его концы уходили на бесконечность в тех же двух заштрихованных секторах и III на рис. 54). Заметим, что, выбрав путь, проходящий, например, в секторах III и II, мы получили бы решение, обращающееся при в бесконечность.

Рис. 54

Смещая путь С так, чтобы он совпал с мнимой осью, получаем функцию в виде (делаем подстановку )

Постоянную в мы положили равной и обозначили определенную таким образом функцию посредством ее называют функцией Эйри.

Асимптотическое выражение для при больших значениях можно получить, вычисляя интеграл методом перевала. При показатель степени в подынтегральном выражении имеет экстремум при а направление его «наиболее крутого спада» параллельно мнимой оси. Соответственно этому, для получения асимптотического выражения для больших положительных значений разлагаем показатель по степеням и интегрируем вдоль прямой (см. рис. 54), параллельной мнимой оси (расстояние ).

Делая подстановку , получаем

откуда

Таким образом, при больших положительных функция затухает экспоненциально.

Для получения асимптотического выражения при больших отрицательных значениях замечаем, что при показатель степени имеет экстремумы при

а направление наиболее крутого спада в этих точках — соответственно вдоль прямых под углами к вещественной оси. Выбирая в качестве пути интегрирования ломаную линию (расстояние ), получим после простых преобразований

Таким образом, в области больших отрицательных функция имеет осциллирующий характер. Укажем, что первый (наибольший) максимум функции есть

Функция Эйри может быть выражена посредством бесселевых функций порядка 1/3. Уравнение как легко убедиться, имеет решение

где — любое решение уравнения Бесселя порядка 1/3. Решение, совпадающее с есть

где

С помощью рекуррентных соотношений

легко найти для производной функции Эйри выражение

Рис. 55

При

На рис. 55 дан график функции Эйри.