§ 136. Система волновых функций непрерывного спектра

При изучении движения в центрально-симметричном поле в гл. V рассматривались стационарные состояния, в которых частиц а обладает, наряду с определенными значениями энергии, также и определенными значениями орбитального момента I и его проекции . Волновые функции этих состояний дискретного и непрерывного энергия спектров образуют вместе полную систему, по которой может быть разложена волновая функция произвольного состояния. Такая система, однако, не адекватна постановке задач в теории рассеяния. Здесь удобна другая система, в которой волновые функции непрерывного спектра характеризуются определенным асимптотическим поведением: на бесконечности имеется плоская волна и наряду с ней расходящаяся сферическая волна; в этих состояниях частица имеет определенную энергию, но не имеет определенных момента и его проекции.

Согласно (123,6), (123,7) такие волновые функции (мы обоз начим их здесь как даются формулой

Аргумент полиномов Лежандра написан здесь в виде благодаря чему это выражение уже не связано с каким-либо определенным выбором осей координат (как это было в (123,6), где ось совпадает с направлением распространения плоской волны). Давая вектору к все возможные значения, мы получим набор волновых функций, которые, как сейчас будет показано, взаимно ортогональны и нормированы обычным для непрерывного спектра правилом

(136,2)

Для доказательства замечаем, что произведение выражается двойной суммой по членов, содержащих произведения

Интегрирование по направлениям осуществляется формулой

(ср. формулу (с, 12) математических дополнений), после чего остается

где — угол между . Но радиальные функции ортогональны и нормированы согласно

Поэтому в коэффициентах перед интегралами можно положить воспользовавшись также формулой (124,3), имеем

Стоящее справа выражение равно нулю при всех , а при умножении на и интегрировании по всему -пространству дает 1, что и доказывает формулу (136,2).

Наряду с системой функций , можно ввести также систему, соответствующую состояниям, в которых на бесконечности имеется плоская волна и вместе с ней — сходящаяся сферическая. Эти функции, которые обозначим через получаются из функций согласно

(136,4)

Действительно, комплексное сопряжение превращает расходящуюся волну в сходящуюся а плоская волна принимает вид Для того чтобы сохранить прежнее определение k (плоская волна ), надо еще заменить k на —k, что и сделано в (136,4). Заметив, что получим из (136,1)

(136,5)

Очень важен случай кулонова поля. Здесь функции () могут быть написаны в замкнутом виде, непосредственно по формуле (135,7). Параболические координаты выражаем посредством

Таким образом, получаем для кулонова поля отталкивания

Волновые функции для кулонова поля притяжения получаются отсюда одновременной заменой знака у k и

Характеристикой воздействия кулонова поля на движение частицы вблизи начала координат может служить отношение квадрата модуля или в точке к квадрату модуля волновой функции свободного движения. С помощью формулы

легко находим для поля отталкивания

и для поля притяжения

Функции и играют существенную роль в задачах, связанных с применениями теории возмущений в непрерывном спектре. Предположим, что в результате некоторого возмущения V частица совершает переход между состояниями непрерывного спектра. Вероятность перехода определяется матричным элементом

(136,12)

Возникает вопрос: какие именно решения волнового уравнения должны быть взяты в качестве начальной и конечной волновых функций для того, чтобы получить амплитуду перехода частицы из состояния с импульсом в состояние с импульсом на бесконечности 1). Покажем, что для этого надо выбрать

(136,13)

Это становится ясным, если рассмотреть, как решался бы доставленный вопрос методом теории возмущений, примененной не только по отношению к возмущению V, но и по отношению к полю , в котором движется частица. В нулевом (по U) приближении матричный элемент (136,12) имеет вид

В следующих (по U) приближениях этот интеграл заменяется рядом, каждый из членов которого выражается интегралом вида

(ср. § 43, 130); в числителях стоят (расположенные в различных последовательностях) матричные элементы по отношению к невозмущенным плоским волнам, а все полюсы обходятся при интегрированиях по одному и тому же определенному правилу. С другой стороны, этот ряд может быть получен как матричный элемент (136,12) с волновыми функциями и представленными в виде рядов теории возмущений по полю U. Тот факт, что в результате должна получиться сумма интегралов, в которых все полюсы обходятся по одинаковому правилу, означает, следовательно, что по такому же правилу обходятся полюсы в членах рядов, изображающих и Но если решать волновое уравнение по теории возмущений с этим правилом обхода, то автоматически получится решение, содержащее в своей асимптотике расходящуюся (наряду с плоской) волну. Другими словами, волновые функции, которые в нулевом (по U) приближении имели вид

должны быть заменены точными решениями волнового уравнения соответственно и этим и доказывается правило (136,13).

Выбор в качестве конечной волновой функции относится также и к случаям перехода из состояния дискретного в состояние непрерывного спектра (вопрос же о способе выбора ); в этом случае естественно, не возникает).