§ 30. Четность состояния

Наряду с параллельными переносами и поворотами системы координат (инвариантность по отношению к которым выражает соответственно однородность и изотропию пространства) существует еще одно преобразование, оставляющее неизменным гамильтониан замкнутой системы. Это — так называемое преобразование инверсии, заключающееся в одновременном изменении знака всех координат, т. е. изменении направления всех осей на обратное; правовинтовая система координат переходит при этом в левовинтовую, и наоборот. Инвариантность гамильтониана по отношению к этому преобразованию выражает собой симметрию пространства по отношению к зеркальным отражениям. В классической механике инвариантность функции Гамильтона по отношению к инверсии не приводит к каким-либо новым законам сохранения. В квантовой же механике ситуация существенно иная.

Введем оператор инверсии Р , действие которого на волновую функцию заключается в изменении знака координат:

Легко найти собственные значения Р этого оператора, определяемые уравнением

Для этого замечаем, что двукратное воздействие оператора инверсии приводит к тождеству — аргументы функции вообще не меняются. Другими словами, имеем , откуда

Таким образом, собственные функции оператора инверсии либо не меняются вовсе под его воздействием, либо меняют свой знак. В первом случае волновую функцию (и соответствующее состояние) называют четной, а во втором — нечетной.

Инвариантность гамильтониана по отношению к инверсии (т. е. коммутативность операторов Н и Р) выражает собой, следовательно, закон сохранения четности: если состояние замкнутой системы обладает определенной четностью е. если оно четно или нечетно), то эта четность сохраняется со временем.

По отношению к инверсии инвариантен также и оператор момента: инверсия меняет знак как координат, так и операторов дифференцирования по ним, а потому оператор (26,2) остается неизменным. Другими словами, оператор инверсии коммутативен с оператором момента, а это значит, что система может обладать определенной четностью одновременно с определенными значениями момента L и его проекции М. При этом можно утверждать, что все состояния, отличающиеся только значением М, обладают одинаковой четностью. Это обстоятельство очевидно уже из независимости свойств замкнутой системы от ее ориентации в пространстве, а формально может быть доказано исходя из коммутации тем же путем, каким было получено (29,3) из (29,2).

Для матричных элементов различных физических величин существуют определенные правила отбора по четности.

Рассмотрим сначала скалярные величины. При этом надо различать истинные скаляры — не меняющиеся вовсе при инверсии, и псевдоскаляры — величины, меняющие знак при инверсии (псевдоскаляром является скалярное произведение аксиального и полярного векторов). Оператор истинного скаляра f коммутативен с Р; отсюда следует, что если матрица Р диагональна, то и матрица диагональна по индексу четности, т. е. отличны от нуля матричные элементы только для переходов и и (индексы g и означают соответственно четные и нечетные состояния). Для оператора же псевдоскалярной величины имеем операторы Р и «антикоммутативны». Матричный элемент этого равенства для перехода есть

и поскольку , то ; таким же образом находим, что и . Таким образом, матрица псевдоскалярной величины имеет отличные от нуля элементы только для переходов с изменением четности. Итак, правила отбора для матричных элементов скалярных величин:

Эти правила можно получить и другим способом, прямо из определения матричных элементов. Рассмотрим, например, интеграл , где функция четна, — нечетна. При изменении знака всех координат подынтегральное выражение меняет знак, если есть истинный с другой стороны, интеграл, взятый по всему пространству, не может измениться от изменения обозначения переменных интегрирования. Отсюда следует, что

Аналогичным образом можно получить правила отбора для векторных величин. При этом надо помнить, что обычные, полярные, векторы при инверсии меняют знак, а аксиальные векторы при этом преобразовании не меняются (таков, например, вектор момента — векторное произведение двух полярных векторов ). Учтя это, найдем правила отбора:

Определим четность состояния одной частицы с моментом l. Преобразование инверсии состоит, для сферических координат, в преобразовании

Зависимость волновой функции частицы от углов задается сферической функцией которая, с точностью до несущественной для нас здесь постоянной, имеет вид При замене на множитель умножается на а при замене на переходит в . Таким образом, вся функция умножится на число (не зависящее от , в согласии со сказанным выше), т. е. четность состояния с данным значением l есть

Мы видим, что все состояния с четным l четны, а с нечетным l нечетны.

Векторная физическая величина, относящаяся к отдельной частице, может иметь матричные элементы лишь для переходов с (§ 29). Имея это в виду и сопоставляя формулу (30,7) со сказанным выше относительно изменения четности в матричных элементах векторов, мы приходим к выводу, что матричные элементы векторных величин, относящихся к отдельной частице, отличны от нуля только для переходов:

(30,8)