§ 130. Амплитуда рассеяния в импульсном представлении

В понятии об амплитуде рассеяния фигурируют только направ. ления начального и конечного импульсов рассеиваемой частицы.

Естественно поэтому, что к этому понятию можно прийти и при формулировке задачи о рассеянии в импульсном представлении, где вопрос о пространственном распределении всей картины процесса вообще не ставится. Покажем, как это делается.

Прежде всего преобразуем к импульсному представлению исходное уравнение Шредингера

(130,1)

перейдя от координатных волновых функций к импульсным, т. е. к фурье-компонентам

(130,2)

Обратно

(130,3)

Умножим уравнение (130,1) на и проинтегрируем его по . В первом члене после двукратного интегрирования по частям получим

Во втором члене, подставив в него в виде (130,3), получим

где U(q) — фурье-компонента поля

Таким образом, уравнение Шредингера в импульсном представлении принимает вид

Обратим внимание на то, что это уравнение — интегральное, а не дифференциальное.

Представим волновую функцию, описывающую рассеяние частиц с импульсом в виде

(130,5)

где — функция, имеющая асимптотически (при ) вид расходящейся сферической волны. Ее фурье-компонента

(130,6)

и подстановка в (130,4) приводит к следующему уравнению для функции

(130,7)

Это уравнение целесообразно преобразовать, введя вместо другую неизвестную функцию, согласно определению,

(130,8)

Тем самым устраняется особенность при в коэффициентах уравнения (130,7) и оно принимает вид

(130,9)

Член Ю (обозначающий предел при введен в определение (130,8) для придания определенного смысла интегралу в (130,9): им устанавливается способ обхода полюса § 43). Покажем, что именно такой способ обхода отвечает требуемому асимптотическому виду функции

Для этого пишем и производим прежде всего интегрирование по — по направлениям вектора q относительно . Интегрирование такого вида уже производилось при преобразовании первого члена в (125,2); оно приводит (в области больших ) к выражению

(где ) или

Подынтегральное выражение имеет полюсы в точках которые обходятся при интегрировании (в плоскости комплексного q) соответственно снизу и сверху (рис. 48, а). Сместим несколько путь интегрирования в верхнюю полуплоскость, заменив его прямой линией, параллельной вещественной оси и замкнутой петлей, охватывающей полюс (рис. 48, б).

Интеграл по прямой линии обращается при в нуль (ввиду наличия в подынтегральном выражении множителя ), а интеграл по замкнутой петле определяется вычетом подынтегрального выражения в полюсе q = k (умноженным на ); окончательно находим

— единичный вектор в направлении к). Мы получили требуемый асимптотический вид волновой функции, причем амплитуда рассеяния

(130,12)

Таким образом, амплитуда рассеяния определяется значением при функции удовлетворяющей интегральному уравнению (130,9).

Рис. 48

В случае применимости теории возмущений уравнение (130,9) легко решается последовательными итерациями. В первом приближении, опустив интегральный член вовсе, получим . В следующем приближении подставляем в интегральный член выражение первого приближения; для амплитуды рассеяния (130,12) находим тогда (несколько изменив обозначения переменных)

причем Первый член совпадает с формулой (126,4) первого борновского приближения а второй дает вклад второго приближения в амплитуду рассеяния

Из (130,13) видно упомянутое уже в § 126 обстоятельство, что уже во втором приближении амплитуда рассеяния теряет свойство симметрии (126,8). На первый взгляд может показаться, что интегральный член в (130,13) тоже симметричен по отношению к перестановке начального и конечного состояний.

В деиствительности, однако, такая симметрия отсутствует в связи с тем, что при переходе к комплексно сопряженному выражению меняется контур интегрирования (направление обхода полюса).