§ 2. Принцип суперпозиции

Радикальное изменение физических представлений о движении в квантовой механике по сравнению с классической требует, естественно, и столь же радикального изменения математического аппарата теории. В этой связи прежде всего возникает вопрос о способе описания состояния в квантовой мехнике.

Условимся обозначать посредством q совокупность координат квантовой системы, а посредством — произведение дифференциалов этих координат (его называют элементом объема конфигурационного пространства системы); для одной частицы совпадает с элементом объема dV обычного пространства.

Основу математического аппарата квантовой механики составляет утверждение, что состояние системы может быть описано определенной (вообще говоря, комплексной) функцией координат , причем квадрат модуля этой функции определяет распределение вероятностей значений координат: есть вероятность того, что произведенное над системой измерение обнаружит значения координат в элементе конфигурационного пространства. Функция называется волновой функцией системы.

Знание волновой функции позволяет в принципе вычислить вероятности различных результатов также и вообще всякого измерения (не обязательно измерения координат). При этом все эти вероятности определяются выражениями, билинейными по . Наиболее общий вид такого выражения есть

где функция зависит от рода и результата измерения, а интегрирования производятся по всему конфигурационному пространству.

Сама вероятность ЧЧ различны, значений координат тоже является выражением такого типа.

С течением времени состояние системы, а с ним и волновая функция, вообще говоря, меняются. В этом смысле волновую функцию можно рассматривать как функцию также и от времени. Если волновая функция известна в некоторый начальный момент времени, то по самому смыслу понятия полного описания состояния она тем самым в принципе определена и во все будущие моменты времени. Фактическая зависимость волновой функции от времени определяется уравнениями, которые будут выведены в дальнейшем.

Сумма вероятностей всех возможных значений координат системы должна, по определению, быть равной единице. Поэтому нужно, чтобы результат интегрирования по всему конфигурационному пространству был равен единице:

Это равенство представляет собой так называемое условие нормировки волновых функций. Если интеграл от сходится, то выбором соответствующего постоянного коэффициента функция У всегда может быть, как говорят, нормирована. Мы увидим, однако, в дальнейшем, что интеграл от может расходиться и тогда не может быть нормирована условием (2,2). В таких случаях не определяет, конечно, абсолютные значения вероятности координат, но отношение квадратов в двух различных точках конфигурационного пространства определяет относительную вероятность соответствующих значений координат.

Поскольку все вычисляемые с помощью волновой функции величины с непосредственным физическим смыслом имеют вид (2,1), в котором входит умноженной на , то ясно, что нормированная волновая функция определена лишь с точностью до постоянного фазового множителя вида где а — любое вещественное число. Эта неоднозначность принципиальная и не может быть устранена; однако она несущественна, так как не отражается ни на каких физических результатах.

В основе положительного содержания квантовой механики лежит ряд утверждений относительно свойств волновой функции, заключающихся в следующем.

Пусть в состоянии с волновой функцией некоторое измерение приводит с достоверностью к определенному результату — результату 1, а в состоянии к результату 2.

Тогда принимается, что всякая линейная комбинация т. е. всякая функция вида — постоянные), описывает состояние, в котором то же измерение дает либо результат 1, либо результат 2. Кроме того, можно утверждать, что если нам известна зависимость состояний от времени, которая для одного случая дается функцией а для другого — то любая их линейная комбинация тоже дает возможную зависимость состояния от времени.

Эти утверждения составляют содержание так называемого принципа суперпозиции состояний — основного положительного принципа квантовой механики. Из него следует, в частности, что все уравнения, которым удовлетворяют волновые функции, должны быть линейными по .

Рассмотрим систему, состоящую из двух частей, и предположим, что состояние этой системы задано так, что каждая из частей описана полным образом. Тогда можно утверждать, что вероятности координат первой части независимы от вероятностей координат второй части, и потому распределение вероятностей для системы в целом должно быть равно произведению вероятностей для ее частей. Это значит, что волновая функция системы может быть представлена в виде произведения волновых функций ее частей:

Если обе части не взаимодействуют друг с другом, то такое соотношение между волновыми функциями системы и ее частей сохранится и в будущие моменты времени: