§ 138. Резонансное рассеяние заряженных частиц

При рассеянии заряженных ядерных частиц (например, про тонов протонами), наряду с короткодействующими ядерными силами, имеется также и медленно убывающее кулоново взаимодействие. Теория резонансного рассеяния строится в этом случае тем же методом, который был изложен в § 133. Разница заключается лишь в том, что в качестве волновых функций в области вне радиуса действия ядерных сил (г а) надо пользоваться вместо решения уравнения свободного движения (133,2) точным общим решением уравнения Шредингера в кулоновом поле. При этом скорость частиц по-прежнему предполагается малой лишь настолько, что ; соотношение же между и кулоновой единицей длины ( — приведенная масса сталкивающихся частиц) может быть произвольным

При движении с в кулоновом поле отталкивания уравнение Шредингера для радиальной функции есть

(138,1)

(мы пользуемся здесь кулоновыми единицами). В § 36 было найдено решение этого уравнения, подчиненное требованию конечности при . Это решение, которое мы обозначим здесь посредством имеет вид (см. (36,27)-(36,28))

(138,2)

Асимптотическое выражение этой функции на больших расстояниях есть

(138,3)

а первые члены разложения при малых

(138,4)

Теперь, однако, при изменившемся граничном условии поведение функции в нуле становится несущественным и нам нужно общее решение уравнения (138,1), представляющее собой линейную комбинацию двух его независимых интегралов.

Параметры вырожденной гипергеометрической функции в (138,2) таковы (целое значение параметра что мы имеем дело как раз со случаем, упомянутым в конце § d математических дополнений. В соответствии со сделанными там указаниями мы получим второй интеграл уравнения (138,1), заменив функцию F в (138,2) какой-либо другой линейной комбинацией двух членов, сумма которых дает, согласно (d, 14), вырожденную гипергеометрическую функцию. Выбрав в качестве такой комбинации разность этих членов, получим второе независимое решение уравнения (138,1) (обозначим его как ) в виде

(138,5)

(функция же является вещественной частью стоящего здесь выражения). Его асимптотический вид на больших расстояниях

(138,6)

а первые члены разложения при малых

(138,7)

где — постоянная Эйлера, обозначает функцию

(где — логарифмическая производная Г-функции)

Общий интеграл уравнения (138,1) напишем в виде суммы

где — постоянная.

Обозначение этой постоянной выбрано так, что асимптотический вид этого решения будет

(138,10)

Таким образом, 80 есть дополнительный сдвиг фазы волновой функции, обусловленный короткодействующими силами. Мы должны связать его с постоянной, фигурирующей в граничном условии , заменяющем собой рассмотрение волновой функции в области действия ядерных сил. Однако, ввиду расходимости (как логарифмической производной при это условие должно быть отнесено теперь не к нулю, а к некоторому сколь угодно малому, но все же конечному значению

Вычисляя (с помощью формул (138,4) и производную и приравнивая ее постоянной, получим граничное условие в виде

Рис. 49

Выражение в левой стороне равенства содержит не зависящие от k постоянные включим их в , обозначив ее после этого через . В результате получим окончательное выражение для которое мы выпишем здесь в обычных единицах:

(138,11)

В пределе т. е. при переходе к незаряженным частицам, формула (138,11) переходит в соотношение совпадающее с (133,6). На рис. 49 дан график функции

Таким образом, при наличии кулонова взаимодействия «по стоянной» оказывается следующая величина:

Мы поставили слово «постоянная» в кавычки, поскольку к представляет собой в действительности первый член разложения по степени малой величины некоторой функции, зависящей от рвойств короткодействующих сил. Резонансу при малых энергиях соответствует, как было указано в § 133, случай аномально малого значения постоянной к. Ввиду этого для улучшения точности следует учесть также и следующий член разложения, содержащий коэффициент «нормального» порядка величины, т. е. надо заменить в (138,12) - на

резонанса может быть связано, как было указано В § 133, с существованием как истинного, так и виртуального дискретного связанного состояния системы. Можно показать что критерием истинности или виртуальности уровня по-прежнему является знак постоянной

Полные фазовые сдвиги волновых функций, согласно (138,10), равны суммам . Поэтому сечение рассеяния

(138,13)

Разность в квадратных скобках представим в виде

(138,14)

Кулоновы фазы вносят одинаковый по порядку величины вклад в амплитуду рассеяния при всех I. Фазы же , связанные с короткодействующими силами, при малы (при малых энергиях).

Поэтому при подстановке (138,14) в (138,13) первую скобку оставляем во всех членах суммы; эти члены суммируются в кулонову амплитуду рассеяния (135,9)

(138,15)

Вторую же скобку в (138,14) сохраняем только в члене с Таким образом, полная амплитуда рассеяния представится в виде

Второй член в этом выражении можно назвать амплитудой ядерного рассеяния. Следует, однако, подчеркнуть, что такое разделение условно: ввиду определения согласно (138,11), наличие кулонова взаимодействия существенно сказывается и на этом члене, который оказывается совершенно отличным от того, что было бы при тех же короткодействующих силах для незаряженных частиц. В частности, при фаза , а с нею и весь второй член в (138,16) стремятся экспоненциально (как ) к нулю, т. е. ядерное рассеяние полностью маскируется кулоновым отталкиванием.

В сечении рассеяния обе части амплитуды интерферируют друг с другом:

(138,17)

Здесь предполагается, что сталкивающиеся частицы различны; для одинаковых частиц амплитуда рассеяния должна была бы быть перед возведением в квадрат предварительно симметризована (cp. § 137).