§ 25. Коэффициент прохождения

Рассмотрим движение частиц в поле изображенного на рис. 5 типа: монотонно возрастает от одного постоянного предела ( при ) до другого при ). Согласно классической механике частица с энергией движущаяся в таком поле слева направо, дойдя до потенциальной стенки, отражается от нее, начиная двигаться в обратном направлении; если же то частица продолжает двигаться в прежнем направлении с уменьшенной скоростью. В квантовой механике возникает новое явление — даже при частица может отразиться от потенциальной стенки. Вероятность отражения должна вычисляться в принципе следующим образом.

Пусть частица движется слева направо. При больших положительных значениях волновая функция должна описывать частицу, прошедшую «над стенкой» и движущуюся в положительном направлении оси х, т. е. должна иметь асимптотический вид

(А — постоянная).

Найдя решение уравнения Шредингера, удовлетворяющее этому предельному условию, вычисляем асимптотическое выражение при оно является линейной комбинацией двух решений уравнения свободного движения, т. е. имеет вид

Первый член соответствует падающей на стенку частице (предполагаем ) нормированной таким образом, чтобы коэффициент? при этом члене был равен единице); второй же член изображает отраженную от стенки частицу. Плотность потока в падающей волне пропорциональна в отраженной: а в прошедшей: Определим коэффициент прохождения D частицы как отношение плотности потока в прошедшей волне к плотности потока в падающей:

Аналогично можно определить коэффициент отражения R как отношение плотности отраженного потока к падающему; очевидно, что

(это соотношение между А и В выполняется автоматически в силу постоянства потока вдоль оси х).

Рис. 5

Если частица движется слева направо с энергией то чисто мнимо и волновая функция экспоненциально затухает при Отраженный поток равен падающему, т. е. происходит полное отражение частицы от потенциальной стенки. Подчеркнем, однако, что и в этом случае вероятность нахождения частицы в области, где все же отлична от нуля, хотя быстро затухает с увеличением х.

В общем случае произвольного стационарного состояния (с энергией ) асимптотический вид волновой функции как при так и при представляет собой сумму двух волн, распространяющихся в обе стороны оси х:

Поскольку оба эти выражения представляют собой асимптотические формы одного и того же решения линейного дифференциального уравнения, между коэффициентами существует линейная связь. Пусть где — постоянные (вообще говоря, комплексные), зависящие от конкретного вида поля Аналогичное соотношение для можно тогда написать на основании соображений, связанных с вещественностью уравнения Шредингера. В силу последней, если есть решение данного уравнения Шредингера, то и комплексно сопряженная функция есть решение того же уравнения. Асимптотический вид

отличается от (25,5) лишь обозначением постоянных коэффициентов; поэтому имеем или Таким образом, коэффициенты в (25,5) связаны друг с другом соотношениями вида

Условие постоянства потока вдоль оси х приводит для коэффициентов в (25,5) к соотношению

Выразив здесь через согласно (25,6), получим

С помощью соотношений (25,6) можно показать, что коэффициенты отражения одинаковы (при заданной энергии ) для частиц, движущихся в положительном или отрицательном направлении оси Действительно, первый случай мы получим, положив в функциях (25,5) ; при этом Во втором случае полагаем тогда . Соответствующие коэффициенты отражения

откуда ясно, что

Величины же естественно назвать амплитудами отражения соответственно для движения в положительном и отрицательном направлениях. Эти амплитуды равны по модулю, но могут отличаться фазовым множителем.

Задачи

1. Определить коэффициент отражения частицы от прямоугольной потенциальной стенки (рис. 6); энергия частицы

Решение. Во всей области волновая функция имеет вид (25,1), а в области (25,2). Постоянные А и В определяются из условия непрерывности и при :

откуда

Коэффициент отражения (25,4)

При R обращается в единицу, а при стремится к нулю как .

Рис. 6

Рис. 7

2. Определить коэффициент прохождения частицы через прямоугольный потенциальный барьер (рис. 7).

Решение. Пусть и падающая частица движется слева направо. Тогда имеем для волновой функции в различных областях выражения вида

(со стороны должна быть только прошедшая волна, распространяющаяся в положительном направлении оси ). Постоянные А, В, В, С определяются из условий непрерывности в точках . Коэффициент прохождения определяется как

Вычисление приводит к результату:

При — чисто мнимая величина; соответствующие выражения для D получаются заменой на , где :

3. Определить коэффициент отражения частицы от потенциальной стенки определяемой формулой

(см. рис. 5); энергия частицы .

Решение. Уравнение Шредингера гласит:

Мы должны найти решение, которое при имеет вид

Вводим новую переменную

(пробегающую значения от до ) и ищем решение в виде:

где стремится к постоянной при (т. е. при ). Для получаем уравнение гипергеометрического типа

имеющее решением гипергеометр ическую функцию

(постоянный множитель не пишем). При эта функция стремится к I, т. е. удовлетворяет поставленному условию.

Асимптотический вид функции при есть

где

Искомый коэффициент отражения есть вычисление с помощью известной формулы

приводит к результату:

При R обращается в единицу, а при стремится к нулю по формуле

При предельном переходе к классической механике R обращается, как и еле довало, в нуль.

4. Определить коэффициент прохождения частицы через потенциальный барьер, определяемый формулой

(рис. 8); энергия частицы

Рис. 8

Решение. Уравнение Шредингера для этой задачи получается из рассмотренного в задаче 5 § 23 примера изменением знака , причем энергию Е считаем теперь положительной. Тем же способом получаем решение

где

Это решение уже удовлетворяет условию, чтобы при (т. е. при ) як волновая функция содержала только прошедшую волну Асимптотический вид волновой функции при находится путем преобразования гипергеометрической функции с помощью формулы

Вычислив квадрат модуля отношения коэффициентов в этой функции, получим следующее выражение для коэффициента прохождения :

Первая из этих формул относится также и к случаю т. е. когда частица проходит не над потенциальным барьером, а над потенциальной ямой. Интересно, что при этом если т. е. при определенных значениях глубины ямы проходящие над ней частицы не отражаются. Это видно уже из выражения (2), в котором при целом положительном s член с вообще отсутствует.

5. Определить закон обращения в нуль коэффициента прохождения при , считая, что потенциальная энергия быстро убывает на расстояниях а, где а — характерный размер области взаимодействия.

Решение. В области расстояний можно пренебречь энергией Е в уравнений Шредингера. Если при этом а, то можно пренебречь и потенциальной энергией, и уравнение сводится к

решение которого мы запишем как

Решая уравнение на расстояниях а, можно найти связь между Эта связь линейна и имеет вид

Коэффициенты вещественны и не зависят от энергии, так как энергия уже не входит в уравнение. Решение (1) должно совпадать с первыми двумя членами разложения функций (25,1-2) по степеням откуда

Подставляя эти выражения в (2) и решая уравнения относительно А, находим при малых откуда

Таким образом коэффициент прохождения обращается в нуль пропорционально энергии частицы. В примерах, рассмотренных в задачах 2 и 4, это общее соотношение, разумеется, выполняется.