Главная > Теоретическая физика. Т. III. Квантовая механика (нерелятивистская теория).
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 15. Импульс

Рассмотрим замкнутую систему частиц, не находящуюся внешнем поле. Поскольку все положения такой системы как целого в пространстве эквивалентны, то можно утверждать, что гамильтониан системы не изменится при параллельном переносе системы на произвольное расстояние.

Достаточно потребовать выполнения этого условия для произвольного бесконечно малого смещения; тогда оно будет выполняться и для всякого конечного смещения.

Бесконечно малое параллельное смещение на расстояние означает преобразование, при котором радиусы-векторы всех частиц (а — номер частицы) получают одинаковое приращение . Произвольная функция координат частиц при таком преобразовании переходит в функцию

( — оператор дифференцирования по ). Выражение

есть оператор бесконечно малого переноса, переводящий функцию в функцию .

Утверждение, что некоторое преобразование не меняет гамильтониана, означает, что если произвести это преобразование над функцией то результат будет таким же, как если произвести его только над функцией и лишь затем применить к ней оператор . Математически это может быть записано следующим образом. Пусть О есть оператор, «производящий» рассматриваемое преобразование. Тогда имеем , откуда

т. е. гамильтониан должен быть коммутативен с оператором О.

В данном случае оператором О является оператор бесконечно малого переноса. Поскольку единичный оператор (оператор умножения на 1) коммутативен, конечно, со всяким вообще оператором, а постоянный множитель может быть вынесен из под знака Н, то условие сводится здесь к условию

Как мы уже знаем, коммутативность некоторого оператора (не содержащего времени явно) с гамильтонианом означает, что соответствующая этому оператору физическая величина сохраняется. Величина, сохранение которой для замкнутой системы следует из свойства однородности пространства, есть импульс системы (ср. I, § 7).

Таким образом соотношение (15,1) выражает собой закон сохранения импульса в квантовой механике; оператор должен соответствовать, с точностью до постоянного множителя, полному импульсу системы, а каждый из членов суммы — импульсу отдельной частицы.

Коэффициент пропорциональности между оператором импульса и оператором у может быть определен с помощью предельного перехода к классической механике и равен

или в компонентах:

Действительно, воспользовавшись предельным выражением волновой функции (6,1), имеем

т. е. в классическом приближении действие оператора сводится к умножению на . Но градиент действия и есть классический импульс частицы (см. I, § 43).

Легко убедиться в том, что оператор (15,2), как и следовало, эрмитов. Действительно, для произвольных функций обращающихся на бесконечности в нуль, имеем

что и является условием эрмитовости оператора.

Поскольку результат дифференцирования функций по двум различным переменным не зависит от порядка дифференцирования, то ясно, что операторы трех компонент импульса коммутативны:

(15,3)

Это значит, что все три компоненты импульса частицы могут одновременно иметь определенные значения.

Найдем собственные функции и собственные значения операторов импульса. Они определяются векторным уравнением

Его решения имеют вид

(15,5)

Одновременное задание всех трех компонент импульса полностью определяет, как мы видим, Еолновую функцию частицы.

Другими словами, величины составляют для частицы один из возможных полных наборов физических величин. Их собственные значения образуют непрерывный спектр, простирающийся от до .

Согласно правилу нормировки собственных функций непрерывного спектра (5,4) интеграл взятый по всему пространству , должен быть равен -функции .

По причинам, которые станут ясными из дальнейших применений, более естественна, однако, нормировка собственных функций импульса частицы на -функцию от разности импульсов, деленных на :

или, что то же,

(поскольку каждый из трех множителей, на которые распадается трехмерная -функция, и т. п.). Интегрирование производится с помощью формулы

Из нее очевидно, что для нормировки, согласно (15,6), в функциях (15,5) надо положить :

Разложение произвольной волновой функции по собственным функциям ее импульса представляет собой не что иное, как разложение в интеграл Фурье:

(). В соответствии с формулой (5,3) коэффициенты разложения равны

(15,10)

Функцию можно рассматривать (см. § 5) как волновую функцию частицы в импульсном представлении:

вероятность импульсу иметь значения в интервале

Подобно тому как оператор соответствует импульсу, определяя его собственные функции в координатном представлении можно ввести оператор координат частицы в импульсном представлении. Он должен быть определен так, чтобы среднее значение координат могло быть записано в виде

(15,11)

С другой стороны, это же среднее значение определяется по волновой функции посредством

Подставив в виде (15,9) и интегрируя по частям, имеем

С помощью этого выражения и учитывая (15,10), находим

Сравнив с (15,11), мы видим, что оператор радиуса-вектора в импульсном представлении

(15,12)

Оператор же импульса в этом представлении сводится к умножению на .

Наконец, выведем формулу, выражающую через оператор параллельного переноса в пространстве на любое конечное (а не только бесконечно малое) расстояние а. По определению такого оператора (назовем его Та) должно быть

Разлагая функцию в ряд Тэйлора, имеем

или, введя оператор

Выражение, стоящее в квадратных скобках, представляет собой оператор

(15,13)

Это и есть искомый оператор конечного смещения.

1
Оглавление
email@scask.ru