§ 15. Импульс

Рассмотрим замкнутую систему частиц, не находящуюся внешнем поле. Поскольку все положения такой системы как целого в пространстве эквивалентны, то можно утверждать, что гамильтониан системы не изменится при параллельном переносе системы на произвольное расстояние.

Достаточно потребовать выполнения этого условия для произвольного бесконечно малого смещения; тогда оно будет выполняться и для всякого конечного смещения.

Бесконечно малое параллельное смещение на расстояние означает преобразование, при котором радиусы-векторы всех частиц (а — номер частицы) получают одинаковое приращение . Произвольная функция координат частиц при таком преобразовании переходит в функцию

( — оператор дифференцирования по ). Выражение

есть оператор бесконечно малого переноса, переводящий функцию в функцию .

Утверждение, что некоторое преобразование не меняет гамильтониана, означает, что если произвести это преобразование над функцией то результат будет таким же, как если произвести его только над функцией и лишь затем применить к ней оператор . Математически это может быть записано следующим образом. Пусть О есть оператор, «производящий» рассматриваемое преобразование. Тогда имеем , откуда

т. е. гамильтониан должен быть коммутативен с оператором О.

В данном случае оператором О является оператор бесконечно малого переноса. Поскольку единичный оператор (оператор умножения на 1) коммутативен, конечно, со всяким вообще оператором, а постоянный множитель может быть вынесен из под знака Н, то условие сводится здесь к условию

Как мы уже знаем, коммутативность некоторого оператора (не содержащего времени явно) с гамильтонианом означает, что соответствующая этому оператору физическая величина сохраняется. Величина, сохранение которой для замкнутой системы следует из свойства однородности пространства, есть импульс системы (ср. I, § 7).

Таким образом соотношение (15,1) выражает собой закон сохранения импульса в квантовой механике; оператор должен соответствовать, с точностью до постоянного множителя, полному импульсу системы, а каждый из членов суммы — импульсу отдельной частицы.

Коэффициент пропорциональности между оператором импульса и оператором у может быть определен с помощью предельного перехода к классической механике и равен

или в компонентах:

Действительно, воспользовавшись предельным выражением волновой функции (6,1), имеем

т. е. в классическом приближении действие оператора сводится к умножению на . Но градиент действия и есть классический импульс частицы (см. I, § 43).

Легко убедиться в том, что оператор (15,2), как и следовало, эрмитов. Действительно, для произвольных функций обращающихся на бесконечности в нуль, имеем

что и является условием эрмитовости оператора.

Поскольку результат дифференцирования функций по двум различным переменным не зависит от порядка дифференцирования, то ясно, что операторы трех компонент импульса коммутативны:

(15,3)

Это значит, что все три компоненты импульса частицы могут одновременно иметь определенные значения.

Найдем собственные функции и собственные значения операторов импульса. Они определяются векторным уравнением

Его решения имеют вид

(15,5)

Одновременное задание всех трех компонент импульса полностью определяет, как мы видим, Еолновую функцию частицы.

Другими словами, величины составляют для частицы один из возможных полных наборов физических величин. Их собственные значения образуют непрерывный спектр, простирающийся от до .

Согласно правилу нормировки собственных функций непрерывного спектра (5,4) интеграл взятый по всему пространству , должен быть равен -функции .

По причинам, которые станут ясными из дальнейших применений, более естественна, однако, нормировка собственных функций импульса частицы на -функцию от разности импульсов, деленных на :

или, что то же,

(поскольку каждый из трех множителей, на которые распадается трехмерная -функция, и т. п.). Интегрирование производится с помощью формулы

Из нее очевидно, что для нормировки, согласно (15,6), в функциях (15,5) надо положить :

Разложение произвольной волновой функции по собственным функциям ее импульса представляет собой не что иное, как разложение в интеграл Фурье:

(). В соответствии с формулой (5,3) коэффициенты разложения равны

(15,10)

Функцию можно рассматривать (см. § 5) как волновую функцию частицы в импульсном представлении:

— вероятность импульсу иметь значения в интервале

Подобно тому как оператор соответствует импульсу, определяя его собственные функции в координатном представлении можно ввести оператор координат частицы в импульсном представлении. Он должен быть определен так, чтобы среднее значение координат могло быть записано в виде

(15,11)

С другой стороны, это же среднее значение определяется по волновой функции посредством

Подставив в виде (15,9) и интегрируя по частям, имеем

С помощью этого выражения и учитывая (15,10), находим

Сравнив с (15,11), мы видим, что оператор радиуса-вектора в импульсном представлении

(15,12)

Оператор же импульса в этом представлении сводится к умножению на .

Наконец, выведем формулу, выражающую через оператор параллельного переноса в пространстве на любое конечное (а не только бесконечно малое) расстояние а. По определению такого оператора (назовем его Та) должно быть

Разлагая функцию в ряд Тэйлора, имеем

или, введя оператор

Выражение, стоящее в квадратных скобках, представляет собой оператор

(15,13)

Это и есть искомый оператор конечного смещения.