§ 96. Неприводимые представления и классификация термов

Квантовомеханические применения теории групп основаны на том, что уравнение Шредингера для физической системы (атома, молекулы) инвариантно по отношению к преобразованиям симметрии этой системы. Из этого обстоятельства непосредственно следует, что после применения элементов группы к функции, удовлетворяющей уравнению Шредингера при некотором значении энергии (собственное значение), должны снова получаться решения того же уравнения с тем же значением энергии. Другими словами, при преобразовании симметрии волновые функции стационарных состояний системы, относящихся к одному и тому же уровню энергии, преобразуются друг через друга т. е. осуществляют некоторое представление группы. Существенно, что это представление неприводимо.

Действительно, функции, непременно преобразующиеся друг через друга при преобразованиях симметрии, во всяком случае должны относиться к одному и тому же уровню энергии; совпадение же собственных значений энергий, относящихся к нескольким группам функций (на которые можно разбить базис приводимого представления), не преобразующихся друг через друга, было бы невероятной случайностью.

Таким образом, каждому уровню энергии системы соответствует некоторое неприводимое представление ее группы симметрии. Размерность этого представления определяет кратность вырождения данного уровня, т. е. число различных состояний с данной энергией. Заданием неприводимого представления определяются все свойства симметрии данного состояния — его поведение по отношению к различным преобразованиям симметрии.

Неприводимые представления с размерностью, большей чем единица, имеются только в тех группах, которые содержат некоммутативные элементы (абелевы группы имеют лишь одномерные неприводимые представления). Уместно по этому поводу напомнить, что связь вырождения с наличием некоммутативных друг с другом (но коммутативных с гамильтонианом) операторов была выяснена уже раньше из соображений, не связанных с теорией групп (§ 10).

Ко всем этим утверждениям необходимо сделать существенную оговорку. Как уже в свое время указывалось (§ 18), симметрия по отношению к изменению знака времени (имеющая место в отсутствие магнитного поля) приводит в квантовой механике к тому, что комплексно сопряженные волновые функции должны относиться к одному и тому же собственному значению энергии. Отсюда следует, что если некоторый набор функций и набор комплексно сопряженных с ними функций осуществляют различные (не эквивалентные) неприводимые представления группы, то эти два комплексно сопряженных представления должны рассматриваться вместе как одно «физически неприводимое» представление с удвоенной размерностью (что и будет подразумеваться везде ниже). В предыдущем параграфе мы имели примеры таких представлений. Так, группа имеет только одномерные представления; однако два из них комплексно сопряжены и физически соответствуют двукратно вырожденным уровням энергии. (При наличии магнитного поля симметрия по отношению к изменению знака времени на имеет места, и потому комплексно сопряженным представлениям соответствуют различные уровни энергии).

Предположим, что физическая система подвергается воздействию некоторого возмущения (система помещается во внешнем поле). Возникает вопрос о том, в какой мере может возмущение привести к расщеплению вырожденных уровней. Внешнее поле имеет, само по себе, некоторую собственную симметрию 2). Если эта симметрия — та же или более высокая 3), чем симметрия невозмущенной системы, то симметрия возмущенного гамильтониана совпадает с симметрией невозмущенного оператора . Ясно, что в этом случае никакого расщепления вырожденных уровней не произойдет. Если же симметрия возмущения ниже симметрии невозмущенной системы, то симметрия гамильтониана Н будет совпадать с симметрией возмущения V. Волновые функции, которые осуществляли неприводимое представление группы симметрии оператора будут осуществлять также и представление группы симметрии возмущенного оператора Я, но это представление может оказаться приводимым, что означает расщепление вырожденного уровня. Покажем на примере, каким образом математический аппарат теории групп позволяет решить конкретно вопрос о расщеплении того или иного уровня.

Пусть невозмущенная система обладает симметрией Рассмотрим трехкратно вырожденный уровень, соответствующий неприводимому представлению этой группы; характеры этого представления равны

Предположим, что система подвергается воздействию возмущения с симметрией (с осью третьего порядка, совпадающей с одной из таких осей группы ).

Три волновые функции вырожденного уровня осуществляют представление группы (являющейся подгруппой группы ), причем характеры этого представления просто равны характерам тех же элементов в исходном представлении группы , т. е.

Однако это представление приводимо. Зная характеры неприводимых представлений группы легко произвести его разложение на неприводимые части (по общему правилу (94,16)). Таким образом, найдем, что оно распадается на представления и Е группы Трехкратно вырожденный уровень расщепляется, следовательно, на один невырожденный уровень и один двукратно вырожденный уровень Е. Если та же система подвергается воздействию возмущения с симметрией (тоже являющейся подгруппой группы ), то волновые функции того же уровня дадут представление с характерами

Разлагая его на неприводимые части, найдем, что оно содержит представления Таким образом, в этом случае произойдет полное расщепление уровня на три невырожденных.