§ е. Гипергеометрическая функция

Гипергеометрическая функция определяется внутри круга рядом

а при получается аналитическим продолжением этого ряда (см. ). Гипергеометрическая функция является одним из частных интегралов дифференциального уравнения

Параметры произвольны, Функция очевидно, симметрична по параметрам Второе независимое решение уравнения есть

оно имеет особую точку при

Мы приведем здесь для справочных целей ряд соотношений, которым удовлетворяет гипергеометрическая функция.

Функция может быть представлена при всех , если в виде интеграла

взятого по контуру С, изображенному на рис. 57. В том, что этот интеграл действительно удовлетворяет уравнению легко убедиться непосредственной подстановкой; постоянный множитель подобран так, чтобы при получилась единица. Подстановка

в уравнении приводит к уравнению того же вида с параметрами у соответственно вместо . Отсюда следует равенство

(обе стороны равенства удовлетворяют одному и тому же уравнению и их значения при совпадают).

Подстановка в интеграле приводит к следующему соотношению между гипергеометрическимй функциями от переменных и :

Значение многозначного выражения в этой формуле (и аналогичных выражений во всех следующих ниже формулах) определяется условием, что возводимая в степень комплексная величина берется с наименьшим по абсолютной величине значением аргумента.

Далее, приведем без вывода важную формулу, связывающую гипергеометрические функции от переменных и

Эта формула выражает в виде ряда, сходящегося при т. е. представляет собой аналитическое продолжение исходного ряда

Формула

связывает гипергеометрические функции от и (мы также приводим ее без вывода).

Комбинируя (е,7) с (е,6), получим соотношения

Каждый из членов сумм в правых сторонах равенств (е,6)-(е,9) представляет сам по себе решение гипергеометрического уравнения.

Если а (или Р) есть целое отрицательное число (или нуль), , то гипергеометрическая функция сводится к полиному степени и может быть представлена в виде

Эти полиномы совпадают, с точностью до постоянного множителя с полиномами Якоби, определяемыми как

При полиномы Якоби совпадают с полиномами Лежандра. При