Комбинируя (е,7) с (е,6), получим соотношения
Каждый из членов сумм в правых сторонах равенств (е,6)-(е,9) представляет сам по себе решение гипергеометрического уравнения.
Если а (или Р) есть целое отрицательное число (или нуль), 
, то гипергеометрическая функция сводится к полиному 
степени и может быть представлена в виде
Эти полиномы совпадают, с точностью до постоянного множителя с полиномами Якоби, определяемыми как
При 
полиномы Якоби совпадают с полиномами Лежандра. При 
рядом
получается аналитическим продолжением этого ряда (см. 
). Гипергеометрическая функция является одним из частных интегралов дифференциального уравнения
произвольны, 
Функция 
очевидно, симметрична по параметрам 
Второе независимое решение уравнения 
есть
может быть представлена при всех 
, если 
в виде интеграла
легко убедиться непосредственной подстановкой; постоянный множитель подобран так, чтобы при 
получилась единица. Подстановка
приводит к уравнению того же вида с параметрами 
у соответственно вместо 
. Отсюда следует равенство
совпадают).
в интеграле 
приводит к следующему соотношению между гипергеометрическимй функциями от переменных 
и 
:
в этой формуле (и аналогичных выражений во всех следующих ниже формулах) определяется условием, что возводимая в степень комплексная величина берется с наименьшим по абсолютной величине значением аргумента.
и 
в виде ряда, сходящегося при 
т. е. представляет собой аналитическое продолжение исходного ряда 
и 
(мы также приводим ее без вывода).
