§ 16. Соотношения неопределенности

Выведем правила коммутации между операторами импульса и координат. Поскольку результат последовательного дифференцирования по одной из переменных и умножения на другую из них не зависит от порядка этих операций, то

и аналогично для .

Для вывода правила коммутации пишем

Мы видим, что результат воздействия оператора сводится к умножению функции на то же самое относится, конечно, к коммутации с . Таким образом имеем

Все соотношения (16,1) и (16,2) можно записать вместе в виде

Прежде чем перейти к выяснению физического смысла этих соотношений и следствий из них, напишем две полезные для дальнейшего формулы. Пусть — некоторая функция координат, тогда

Действительно,

Аналогичное соотношение имеет место для коммутатора с функцией оператора импульса:

Его можно вывести так же, как (16,4), если производить вычисления в импульсном представлении, воспользовавшись для операторов координат выражением (15,12).

Соотношения (16,1) и (16,2) показывают, что координата частицы вдоль одной из осей может иметь определенное значение одновременно с компонентами импульса по двум другим осям; координата же и компонента импульса вдоль одной и той же оси не существуют одновременно. В частности, частица не может находиться в определенной точке пространства и в то же время иметь определенный импульс .

Предположим, что частица находится в некоторой конечной области пространства, размеры которой вдоль трех осей порядка величины . Пусть, далее, среднее значение импульса частицы есть . Математически это означает, что волновая функция имеет вид где и (-функция, заметно отличная от нуля только в указанной области пространства.

Разложим функцию по собственным функциям оператора импульса (т. е. в интеграл Фурье). Коэффициенты а этого разложения определяются интегралами (15,10) от функций вида Для того чтобы такой интеграл был заметно отличен от нуля, периоды осциллирующего множителя должны быть не малыми по сравнению с размерами области, в которой отлична от нуля функция . Это значит, что а будет заметно отличным от нуля лишь для значений таких, что Поскольку определяет вероятность различных значений импульса, то интервалы значений в которых а отлично от нуля, — не что иное, как те интервалы значений, в которых могут оказаться компоненты импульса частицы в рассматриваемом состоянии. Обозначая эти интервалы посредством , имеем таким образом

Эти соотношения неопределенности были установлены Гейзенбергом в 1927 г.

Мы видим, что чем с большей точностью известна координата частицы (т. е. чем меньше ), тем больше неопределенность в значении компоненты импульса вдоль той же оси, и наоборот. В частности, если частица находится в некоторой строго определенной точке пространства то Это значит, что все значения импульса при этом равновероятны. Наоборот, если частица имеет строго определенный импульс , то равновероятны все ее положения в пространстве (это видно и непосредственно из волновой функции (15,8), квадрат модуля которой не зависит вовсе от координат).

Если характеризовать неопределенности координат и импульсов средними квадратичными флуктуациями

то можно дать точную оценку наименьшего возможного значения их произведения (Н. Weyl).

Рассмотрим одномерный случай — пакет с волновой функцией , зависящей только от одной координаты; предположим для простоты, что средние значения в этом состоянии равны нулю. Исходим из очевидного неравенства

где а — произвольная вещественная постоянная. При вычислении этого интеграла замечаем, что

и получаем

Для того чтобы этот квадратичный (по а) трехчлен был положительным при любых значениях а, его дискриминант должен быть отрицательным. Отсюда получаем неравенство

Наименьшее возможное значение произведения равно

Это значение достигается в волновых пакетах, описываемых функциями вида

где — постоянные. Вероятности различных значений координаты в таком состоянии

т. е. распределены вокруг начала координат (среднее значение по закону Гаусса со средней квадратичной флуктуацией Волновая функция в импульсном представлении

Вычисление интеграла приводит к выражению вида

Распределение вероятностей значений импульса, тоже является гауссовым вокруг среднего и со средней квадратичной флуктуацией так что произведение имеет как раз значение .

Наконец, выведем еще одно полезное соотношение. Пусть и g — две физические величины, операторы которых удовлетворяют правилу коммутации

где — оператор некоторой физической величины с. В правой стороне равенства введен множитель и в соответствии с тем, что в классическом пределе (т. е. при все вообще операторы физических величин сводятся к умножению на эти величины и коммутативны друг с другом. Таким образом, в «квазиклас-сическом» случае можно в первом приближении правую сторону равенства (16,9) считать равной нулю. В следующем же приближении можно заменить оператор б оператором простого умножения на величину с. Тогда получится

Это равенство в точности аналогично соотношению с той лишь разницей, что вместо постоянной в нем стоит величина

В связи с этим мы можем заключить по аналогии с соотношением что в квазиклассическом случае для величин имеет место соотношение неопределенности

(16,10)

В частности, если одной из величин является энергия , а оператор другой не зависит явно от времени, то, согласно (9,2), и соотношение неопределенности в квазиклассическом случае

(16,11)