§ 134. Резонанс на квазидискретном уровне

Система, способная к распаду, не обладает, строго говоря, дискретным спектром энергий. Вылетающая из нее при распаде частица уходит на. бесконечность; в этом смысле движение системы инфинитно, а потому энергетический спектр непрерывен.

Может, однако, оказаться, - что вероятность распада системы очень мала.

Простейший пример такого рода представляет частица, окруженная достаточно высоким и широким потенциальным барьером. Другим источником метастабильности состояния может явиться необходимость изменения спина системы при распаде, осуществляющегося за счет слабого спин-орбитального взаимодействия.

Для таких систем с малой вероятностью распада можно ввести понятие о квазистационарных состояниях, в которых частицы движутся в течение длительного времени «внутри системы», покидая ее лишь по истечении значительного промежутка времени , которое можно назвать продолжительностью жизни данного почти стационарного состояния ( где w — вероятность распада в единицу времени). Энергетический спектр этих состояний будет квазидискретным; он состоит из ряда размытых уровней, ширина которых Г связана с продолжительностью жизни посредством (см. (44,7)). Ширины квазидискретных уровней малы по сравнению с расстояниями между ними.

При рассмотрении квазистационарных состояний можно применить следующий формальный метод. До сих пор мы всегда рассматривали решения уравнения Шредингера с граничным условием, требующим конечности волновой функции на бесконечности. Вместо этого будем теперь искать решения, представляющие собой на бесконечности расходящуюся сферическую волну; это соответствует частице, вылетающей в конце концов из системы при ее распаде. Ввиду того, что такое граничное условие комплексно, нельзя уже утверждать, что собственные значения энергии должны быть вещественными. Напротив, в результате решения уравнения Шредингера мы получим набор комплексных значений, которые мы будем писать в виде

(134,1)

где - две положительные (см. нине) величины.

Легко видеть, в чем заключается физический смысл комплексных значений энергии. Временной множитель волновой функции квазистационарного состояния имеет вид

Поэтому все вероятности, определяющиеся квадратами модуля волновой функции, затухают со временем по закону .

В частности, по этому закону затухает и вероятность нахождения частицы «внутри системы».

Таким образом, Г определяет продолжительность жизни состояния; вероятность распада в единицу времени равна

На больших расстояниях волновая функция квазистационар-ного состояния (расходящаяся волна) содержит множитель

экспоненциально возрастающий при (мнимая часть корня отрицательна). Поэтому нормировочный интеграл для этих функций расходится. Заметим, кстати, что этим обстоятельством разрешается кажущееся противоречие между затуханием квадрата со временем и тем, что нормировочный интеграл должен быть постоянной величиной, как это следует из волнового уравнения. Выясним вид волновой функции, описывающей движение частицы с энергией, близкой к одному из квазидискретных уровней системы.

Как и в § 128, напишем асимптотический (на больших расстояниях) вид радиальной части волновой функции в форме (128,1)

(134,3)

и будем рассматривать Е как комплексную переменную. При вещественных положительных значениях Е

(134,4)

причем (см. (128,3), (128,4)); функция берется здесь на верхней стороне разреза, проведенного вдоль правой вещественной полуоси.

Условие, определяющее комплексные собственные значения энергии, заключается в отсутствии в асимптотическом выражении (134,3) сходящейся волны. Это означает, что при должен обратиться в нуль коэффициент

(134,5)

Таким образом, квазидискретные уровни энергии, как и истинные дискретные уровни, являются нулями функции . Однако, в отличие от нулей, соответствующих истинным уровням, они лежат не на физическом листе. Действительно, написав условие (134,5), мы подразумевали, что искомая волновая функция квазистационарного состояния возникает из того же члена в (134,3), который является расходящейся волной и при Но точка расположена под правой вещественной полуосью. Попасть в нее с верхней стороны разреза (на которой определены коэффициенты в (134,4)), не уходя при этом с физического листа, можно лишь путем обхода вокруг точки . При этом, однако, изменит знак, так что расходящаяся волна превратится в сходящуюся. Следовательно, для сохранения расходящегося характера волны переход должен совершаться непосредственно вниз через разрез, так что мы попадем на другой, нефизический, лист.

Рассмотрим теперь вещественные положительные значения энергии, близкие к квазидискретному уровню (при этом, конечно, подразумевается малость Г; в противном случае такая близость была бы вообще невозможна). Разложив функцию по степеням разности и ограничиваясь членом первого порядка, напишем

(134,6)

где — постоянная. Подставив это в (134,4), получим следующее выражение для волновой функции состояния, близкого к квазистационарному:

(134,7)

Фаза этой функции дается формулой

(134,8)

где

(134,9)

При фаза совпадает с так что есть значение фазы вдали от резонанса.

В области резонанса сильно зависит от энергии. Переписав (134,8) с помощью формулы

(134,1)

в виде

видим, что при прохождении через всю резонансную область (от до ) фаза меняется на .

При функция (134,7) сводится к

Если нормировать волновую функцию условием равенства единице интеграла от по области внутри системы, то полный поток в этой расходящейся волне, равный должен совпадать с вероятностью распада (134,2). Отсюда найдем

Полученные результаты позволяют определить амплитуду упругого рассеяния частицы с энергией Е, близкой к некоторому квазидискретному уровню составной системы, состоящей из рассеивающей системы вместе с рассеиваемой частицей. В общей формуле (123,11) в члене с тем значением I, которому соответствует уровень надо подставить выражение (134,8). Тогда получим

(134,12)

где — амплитуда рассеяния вдали от резонанса, не зависящая от свойств квазистационарного состояния (она определяется формулой (123,11) с во всех членах суммы). Амплитуду называют амплитудой потенциального рассеяния, а второй член в формуле (134,12) — амплитудой резонансного рассеяния.

Последняя имеет полюс при находящийся, согласно сказанному выше, на нефизическом листе.

Формула (134,12) определяет упругое рассеяние в области резонанса на одном из квазидискретных уровней составной системы. Область ее применимости определяется требованием, чтобы разность была мала по сравнению с расстоянием D до соседних квазидискретных уровней

(134,13)

Эта формула несколько упрощается, если речь идет о рассеянии медленных частиц, т. е. если длина волны частиц в резонансной области велика по сравнению с размерами рассеивающей системы. При этом существенно лишь -рассеяние; будем считать, что уровень относится именно к движению с Амплитуда потенциального рассеяния сводится теперь к вещественной постоянной — а (см. § 132). В амплитуде же резонансного рассеяния полагаем и заменяем единицей, поскольку Таким образом, получаем

В узкой области второй член велик по сравнению с амплитудой а и последняя должна быть опущена. Однако при удалении от точки резонанса оба члена могут сравняться.

В приведенных выводах молчаливо подразумевалось, что величина самого уровня не слишком мала, и резонансная область не находится в окрестности точки Если же речь идет о резонансе на первом квазидискретном уровне составной системы, расположенном на расстоянии от точки малом по сравнению с расстоянием до следующего уровня то разложение (134,6) может стать незаконным; это проявляется уже в том, что амплитуда (134,14) не стремится при к постоянному пределу, как это требовалось бы для -рассеяния согласно общей теории.

Рассмотрим случай близкого к нулю квазидискретного уровня, снова предполагая, что в резонансной области рассеиваемые частицы настолько медленны, что существенно лишь -рассеяние.

Разложение коэффициентов волновой функции должно производиться теперь по степеням самой энергии Е.

Точка является точкой разветвления функций , причем обход вокруг нее с верхней на нижнюю сторону разреза превращает Это значит, что разложение происходит по степеням меняющего знак при указанном обходе. Представим пер члены разложения функции для вещественных полб жительных Е в виде

(134,16)

где — вещественные постоянные, — функция энергии, тоже разлагаемая по степеням но не имеющая нулей вблизи точки Квазидискретному уровню соответствует обращение в нуль множителя продолженного в нижнюю полуплоскость нефизического листа: поэтому для определения и Г имеем уравнение

(134,16)

(постоянные и у должны быть положительными для того, чтобы были положительными . Так, уровню с шириной соответствует соотношение между постоянными . При этом из (134,16) имеем

Выражение (134,15) заменяет собой в рассматриваемом случае формулу (134,6); соответствующим образом должны быть изменены дальнейшие формулы (надо заменить везде на на . Поэтому для амплитуды рассеяния получим вместо (134,14) следующее выражение:

(134,17)

(мы подставили здесь где — приведенная масса частицы и рассеивающей системы). При эта амплитуда стремится, как и следует, к постоянному пределу (тем самым оправдывается форма разложения (134,15)).

Отметим, что выражение вида (134,17) включает в себя также и случай близкого к нулю истинного дискретного уровня составной системы, получающийся при соответствующем соотношении между постоянными . Если то для энергий в знаменателе резонансного члена можно пренебречь первым членом

Пренебрегая также амплитудой потенциального рассеяния а, получим формулу

совпадающую с формулой (133,7) (причем ). Она соответствует резонансу на уровне являющемся истинным или виртуальным дискретным уровнем в зависимости от того, положительна или отрицательна постоянная .