Главная > Теоретическая физика. Т. III. Квантовая механика (нерелятивистская теория).
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 141. Полюсы Редже

В § 128 были рассмотрены аналитические свойства амплитуды рассеяния как функции комплексной переменной Е — энергии частиц; орбитальный момент I играл при этом роль параметра, пробегающего вещественные целые значения.

Дальнейшие существенные с методической точки зрения свойства амплитуды рассеяния выясняются, если рассматривать теперь как непрерывную комплексную переменную, при вещественных значениях энергии

Как и в § 128, рассмотрим радиальные волновые функции с асимптотическим (при ) видом

(141,1)

Эти функции являются решениями уравнения Шредингера (32,8) (в котором I рассматривается теперь как комплексный параметр), причем отбор одного из двух независимых решений производится условием

(141,2)

Сразу же отметим, что такое условие накладывает определенное ограничение на допустимые значения параметра I. Действительно, общий вид решения уравнения (32,8) при малых есть

(см. конец § 32). Для того чтобы второе решение могло быть однозначным образом выделено «на фоне» первого и исключено, член с должен быть при больше члена с При комплексных значениях I отсюда возникает условие т. е.

Везде ниже рассматривается именно эта полуплоскость комплексного I — справа от вертикальной прямой

Будучи решением дифференциального уравнения с аналитическими по параметру I коэффициентами, волновая функция является аналитической функцией этого параметра, не имеющей особенностей в полуплоскости (141,3). Это относится, в частности, и к асимптотическому выражению (141,1), а потому функции А (I, Е) и В (I, Е) не имеют особенностей по I. При этом, однако, подразумевается, что сохранение (при ) обоих членов в (141,1) действительно законно. При Е > 0 это всегда так, а при Е < 0 — справедливо, если поле удовлетворяет условиям (128,6) или (128,13). В этих рассуждениях существенно, что характер асимптотического (по ) поведения волновой функции зависит только от Е, но не от I; поэтому комплексность I не меняет условий перехода к асимптотике.

Сравнив (141,1) с асимптотической формулой (128,15), найдем элемент S-матрицы в виде

(141,4)

справедливом и при комплексных значениях I (при этом, однако, «фазовый сдвиг» уже не веществен).

При вещественных значениях I и при Е > 0 функции А а В связаны соотношением (128,4): . Отсюда следует, что при комплексных I

а потому S (I, Е) удовлетворяет условию комплексной унитарности

(141,6)

В силу отсутствия особенностей у и как функций от I функция (а с нею и парциальная амплитуда рассеяния ) имеет особенности (полюсы) лишь в нулях функции . Полюсы амплитуды рассеяния в плоскости комплексного I называют полюсами Редже. Их положение зависит, конечно, от значения вещественного параметра Е. Функции

определяющие положения полюсов, называют траекториями Редже; при изменении Е полюсы перемещаются в плоскости I по определенным линиям (индекс i, нумерующий полюсы, мы будем ниже опускать).

Приступая к изучению свойств траекторий Редже, покажем прежде всего, что при Е < 0 все а(Е) — вещественные функции. Для этого рассмотрим уравнение

(141,7)

которому удовлетворяет волновая функция с Умножив это уравнение на и проинтегрировав его по (причем первый член преобразуется интегрированием по частям), получим

Здесь учтено, что при (условие, определяющее полюсы Редже) волновая функция экспоненциально затухает при так что все интегралы сходятся.

Первые два члена в полученном равенстве вещественны, а в последнем члене веществен интеграл. Поэтому должно быть

Но поскольку мы рассматриваем лишь полюсы, находящиеся на полуплоскости (141,3), то заведомо и мы приходим к требуемому результату

(141,8)

Далее, произведем с уравнением (141,7) следующие операции (аналогичные выводу равенства (128,10)): дифференцируем его по Е, умножаем полученное уравнение на а исходное уравнение (141,7) — на вычтя затем одно из другого, получим тождество

Проинтегрируем его по от 0 до снова учтя при этом обращение в нуль при Интеграл от первого члена обращается в нуль, и мы находим

(141,9)

Ввиду известной уже нам вещественности вещественна также и волновая функция, а потому оба интеграла в (141,9) заведомо положительны. Следовательно,

и ввиду положительности

Таким образом, при функции a (Е) монотонно возрастают с увеличением Е.

Отрицательные значения Е, при которых функции a (Е) принимают «физические» значения (т. е. равны целым числам , отвечают дискретным уровням энергии системы. Отметим, что таким образом возникает новый классификационный принцип для связанных состояний: по траекториям Редже, на которых они лежат.

В качестве примера рассмотрим траектории Редже для движения в кулоновом поле притяжения. Элементы матрицы рассеяния даются в этом случае выражением

( — в кулоновых единицах). Его полюсы лежат в точках, где аргумент функции равен целому отрицательному числу или нулю. При имеем так что

(141,11)

где — число, нумерующее траектории Редже. Приравняв а (Е) целому числу получим известную формулу Бора для дискретных уровней энергии в кулоновом поле

Число оказывается при этом совпадающим с радиальным квантовым числом, определяющим число узлов радиальной волновой функции. Каждой траектории Редже (т. е. каждому заданному значению ) отвечает бесконечное множество уровней, отличающихся значением орбитального момента.

Обратимся к свойствам функций а(Е) при Е > 0. Напомним (см. § 128), что функции в (141,1) как функции комплексной переменной Е определены на плоскости с разрезом на правой вещественной полуоси. Соответственно такой же разрез имеют и функции — корни уравнения На верхнем и нижнем краях разреза а (Е) имеют комплексно сопряженные значения; при этом на верхнем краю Не останавливаясь на формальном доказательстве этого утверждения, приведем более физичные соображения, поясняющие его происхождение.

При комплексном I становится комплексной также и центробежная энергия, а с нею и эффективная потенциальная энергия Повторив изложенный в § 19 вывод, получим теперь вместо (19,6)

При имеем также и тогда выражение в правой стороне равенства положительно, что означает как бы испускание новых частиц в объеме поля.

Соответственно асимптотическое выражение волновой функции (содержащее при лишь первый из двух членов в (141,1)) должно представлять собой расходящуюся волну; именно это имеет место на верхнем краю разреза — ср. переход от (128,1) к (128,3).

Поскольку при функции а (Е) комплексны, они не могут принимать здесь своих «физических» значений Они могут, однако, оказаться близкими (в плоскости комплексного I) к таким значениям. Покажем, что в таком случае в парциальной амплитуде рассеяния (соответствующей данному целому значению ) возникает резонанс.

Пусть — целое значение, к которому близка функция а (Е). Пусть, далее, — такое (вещественное положительное) значение энергии, для которого Тогда вблизи этого значения имеем

(141,12)

где — вещественная постоянная. Будем рассматривать значения а (Е) на верхнем краю разреза; согласно сказанному выше тогда (причем, по предположению о близости а к , Легко видеть, что и постоянную (т. е. производную при ) можно считать вещественной положительной величиной. Действительно, поскольку а (Е) почти вещественна, то почти вещественна и волновая функция . Пренебрегая величинами высших порядков малости по , можно пренебречь мнимой частью тогда положительность следует из положительности интегралов в соотношении (141,9).

Поскольку значение является нулем функции , то вблизи точки а, эта функция пропорциональна а — I. С учетом (141,12) имеем поэтому

(141,13)

Но это выражение по форме как раз совпадает с (134,6), причем оказывается энергией, — шириной квазидискретного уровня.

Таким образом, близость траектории Редже (при Е > 0) к целым значениям I отвечает квазистационарным состояниям системы. Тем самым для этих состояний возникает тот же классификационный принцип, что и для строго стационарных состояний: каждой траектории Редже может отвечать целое семейство дискретных и квазидискретных уровней.

Рассмотрение I как комплексной переменной позволяет получить полезное интегральное представление для полной амплитуды рассеяния (при даваемой рядом (123,11)

(141,14)

Для этого надо прежде всего определить функции не только при целых но и при комплексных значениях Это можно сделать, понимая под решение уравнения

(141,15)

с граничным условием Определенная таким образом как функция не имеет особенностей при конечных значениях этой переменной

Легко видеть, что ряд (141,14) совпадает с интегралом

(141,16)

взятым по пути С, обходящему в отрицательном направлении (по часовой стрелке) все точки на вещественной оси, и замыкающимся на бесконечности:

При этом все полюсы функции (расположенные при не на вещественной оси) должны оставаться снаружи от контура С.

Действительно, интеграл (141,16) сводится к (умноженной на ) сумме вычетов подынтегрального выражения в точках — полюсах функции причем вычеты самой этой функции равны Заметив также, что при целых сведем (141,16) к (141,14).

Задача

Показать, что фазовые сдвиги, соответствующие последовательным целым значениям I, удовлетворяют неравенству

Решение. Будем рассматривать I как непрерывную вещественную переменную и продифференцируем по I уравнение (32,10):

Умножая это уравнение на а исходное — на и вычитая одно из другого находим:

Проинтегрируем это равенство по от 0 до При выражение в квадратных скобках равно нулю, а при можно использовать для асимптотическое выражение (33,20). В результате получаем

так что Интегрируя это соотношение по от до получаем искомое неравенство. Комбинируя его с формулой (133,17), можно доказать, что число дискретных уровней не возрастает с ростом I. Действительно, при когда справедливо борновское приближение, фазы рассеяния стремятся к нулю, так что Тогда

1
Оглавление
email@scask.ru