§ 97. Правила отбора для матричных элементов

Теория групп позволяет не только произвести классификацию термов любой симметричной физической системы, но и дает простой метод нахождения правил отбора для матричных элементов различных величин, характеризующих систему.

Этот метод основан на следующей общей теореме. Пусть — одна из функций базиса неприводимого (неединичного) представления группы симметрии. Тогда ее интеграл по всему пространству тождественно обращается в нуль:

Доказательство основано на очевидном обстоятельстве, что взятый по всему пространству интеграл инвариантен по отношению к любому преобразованию системы координат, в том числе по отношению к любому преобразованию симметрии. Поэтому

Просуммируем это равенство по всем элементам группы. Интеграл слева просто умножается на порядок группы g, и мы получаем

Но для всякого неединичного неприводимого представления имеем тождественно (это — частный случай соотношений ортогональности (94,7), когда одно из неприводимых представлений единичное). Тем самым теорема доказана.

Если — функция, относящаяся к базису некоторого приводимого представления группы, то интеграл будет отличен от нуля, лишь если это представление содержит в себе единичное» Эта теорема непосредственно следует из предыдущей.

Матричные элементы физической величины даются интегралами

где индексы отличают различные уровни энергии системы, а индексы i, k нумеруют волновые функции, относящиеся к одному и тому же вырожденному уровню. Обозначим символически неприводимые представления группы симметрии данной физической системы, осуществляемые функциями и посредством Символом же обозначим представление той же группы, отвечающее симметрии величины оно зависит от тензорного характера . Так, если — истинный скаляр, то ее оператор f инвариантен по отношению ко всем преобразованиям симметрии, так что — единичное представление. То же самое относится к псевдоскалярной величине, если группа содержит только оси симметрии; если же группа содержит также и отражения, то — одномерное, но неединичное представление. Если — векторная величина, то — представление, осуществляемое тремя преобразующимися друг через друга компонентами вектора; это представление, вообще говоря, различно для полярных и аксиальных векторов.

Произведения осуществляют представление группы, выражающееся прямым произведением Матричные элементы отличны от нуля, если это представление содержит в себе единичное, или, что то же, если прямое произведение содержит в себе

Практически удобнее разлагать на неприводимые части произведение тем самым мы сразу узнаем все типы состояний, для переходов в которые (из состояния типа ) матричные элементы отличны от нуля.

В простейшем случае скалярной величины, когда — единичное представление, отсюда сразу следует, что отличны от нуля матричные элементы лишь для переходов между состояниями одинакового типа (действительно, прямое произведение двух различных неприводимых представлений не содержит единичное представление, но оно всегда содержится в прямом произведении неприводимого представления самого на себя). Это есть наиболее общая формулировка теоремы, с частными случаями которой мы уже неоднократно встречались.

Особого рассмотрения требуют диагональные по энергии матричные элементы, т. е. элементы для переходов между состояниями, относящимися к одному и тому же терму (в отличие от переходов между состояниями, относящимися к двум различным термам одинакового типа). В этом случае мы имеем всего одну (а не две различные) систему функций . Правила отбора находятся здесь различным образом в зависимости от поведения величины f при обращении времени.

Рассмотрим состояние, описывающееся волновой функцией вида Среднее значение величины в этом состоянии дается суммой

В состоянии же с комплексно сопряженной волновой функцией имеем

Если величина инвариантна по отношению к обращению времени, то оба состояния не только относятся к одному и тому же уровню энергии, но должны иметь также и одинаковое значение . Ввиду произвольности коэффициентов это значит, что

Легко показать, что тогда для нахождения правил отбора надо рассматривать не прямое произведение а лишь его симметричную часть отличные от нуля матричные элементы существуют, если содержит в себе

Если же величина меняет знак при обращении времени, то замена должна сопровождаться изменением знака f. Отсюда тем же способом находим, что

В этом случае правила отбора определяются разложением антисимметричной части прямого произведения:

Задачи

1. Найти правила отбора для матричных элементов электрического d и магнитного дипольных моментов при наличии симметрии О.

Решение. Группа О не содержит отражений; поэтому полярные и аксиальные векторы преобразуются по одному и тому же неприводимому представлению Разложения прямых произведений с другими представлениями группы О

Поэтому отличны от нуля недиагональные (по энергии) матричные элементы для переходов

Симметричные и антисимметричные произведения неприводимых представлений группы О равны

Симметричные произведения не содержат поэтому диагональные (по энергии) матричные элементы вектора d (инвариантного по отношению к обращению времени) отсутствуют. Магнитный же момент (меняющий знак при обращении времени) имеет диагональные матричные элементы для состояний .

2. То же при симметрии .

Решение. Законы преобразований векторов d и в группе различны:

(здесь и ниже в задачах знак означает слова «преобразуется по представлению»). Имеем

Поэтому отличны от нуля недиагональные матричные элементы от для переходов Таким же образом найдем правила отбора

Симметричные и антисимметричные произведения неприводимых представлений группы равны

Отсюда видно, что диагональные (по энергии) матричные элементы отсутствуют у всех компонент d; для вектора ( диагональные матричные элементы имеются у для переходов между состояниями, относящимися к вырожденному уровню типа или

3. Найти правила отбора для матричных элементов тензора электрического квадрупольного момента при симметрии О.

Решение. Компоненты тензора (симметричный тензор с равной нулю суммой ) по отношению к группе О преобразуются по законам:

Разлагая прямые произведения и E со всеми представлениями группы, найдем правила отбора для недиагональных матричных элементов:

Диагональные матричные элементы имеются (как видно из ) в следующих состояниях:

4. То же при симметрии .

Решение. Законы преобразования компонент по отношению к группе

ведет себя как скаляр. Разлагая прямые произведения со всеми представлениями группы, найдем правила отбора для недиагональных матричных элементов остальных компонент

Диагональные элементы отличны от нуля (как видно из ) только для состояний