§ 149. Эффективное торможение

В применениях теории столкновений большое значение имеет вычисление средней потери энергии сталкивающейся частицей. Эту потерю удобно характеризовать величиной

(149,1)

которую мы будем называть эффективным торможением (дифференциальным); суммирование производится, разумеется, по состояниям как дискретного, так и непрерывного спектров, отнесено к рассеянию в данный элемент телесного угла .

Общая формула для эффективного торможения быстрых электронов имеет вид

(149,2)

( из (148,9)).

Исключим, как и при выводе (148,23), из рассмотрения область совсем малых углов и снова будем считать, что тогда q не зависит от величины передаваемой энергии и сумма по может быть вычислена в общем виде.

Сумма вычисляется с помощью теоремы суммирования, которая выводится следующим образом. Матричные элементы от некоторой величины f (функции координат) и ее производной по времени f связаны друг с другом формулой

Поэтому имеем

Волновые функции стационарных состояний атома можно выбрать вещественными. Тогда матричные элементы функции координат связаны соотношениями , а для матричных элементов (149,3) имеем соответственно Поэтому рассматриваемую сумму можно написать также и в виде

Взяв полусумму обоих выражений, получим искомую теорему

Применим ее к величине . Согласно (19,2) ее производная по времени изобразится оператором

Прямое вычисление дает

Подставив в (149,4), получим формулу

(149,5)

которая и осуществляет нужное нам суммирование.

Таким образом, для дифференциального эффективного торможения находим формулу

(149,6)

Область ее применимости дается неравенством .

Далее, определим полное эффективное торможение для всех столкновений, сопровождающихся передачей импульса, не превышающей некоторого значения такого, что

(149,7)

дается формулой (148,11). Знак интеграла нельзя вынести из-под знака суммы, так как зависит от .

Разобьем область интегрирования на две части — от до и от до где — такое значение q, что . Тогда во всей области интегрирования от до можно воспользоваться для выражением

откуда

(149,8)

В области же от до можно произвести сначала суммирование по , приводящее для к выражению (149,6), которое при интегрировании по дает

(149,9)

Для преобразования полученных выражений воспользуемся теоремой суммирования, получающейся из формулы (149,4), если положить в ней

Коммутирование дает в данном случае совпадает с что

Величины называют силами осцилляторов соответствующих переходов.

Введем некоторую среднюю атомную энергию согласно

(149,11)

Используя (149,10), формулу (149,8) можно переписать в виде Складывая с (149,9), окончательно получаем

(149,12)

В эту формулу входит всего одна характерная для данного атома постоянная

Выражая через угол рассеяния согласно получим эффективное торможение при рассеянии на все углы

(149,13)

Если то можно выразить и в виде функции от наибольшей передаваемой падающим электроном атому энергии. В предыдущем параграфе было указано, что при происходит ионизация атома, причем практически весь импульс и энергия передаются одному атомному электрону.

Поэтому связаны друг с другом, как импульс и энергия электрона, т. е. Подставляя в получим эффективное торможение при столкновениях, сопровождающихся передачей энергии

(149,14)

В заключение сделаем следующее замечание. Уровни энергии, дискретного спектра атома связаны в основном с возбуждениями одного (внешнего) электрона; уже возбуждение двух электронэв связано обычно с энергией, достаточной для ионизации атома. Поэтому в сумме интенсивностей осцилляторов переходы в состояния дискретного спектра составляют лишь долю порядка единицы; переходы же с ионизацией — порядка Z. Отсюда следует, что основную роль в торможении (тяжелыми атомами) играют столкновения, сопровождающиеся ионизацией.

Задача

Определить полное эффективное торможение электрона атомом водорода единицы); при больших передачах энергии более быстрый из обоих сталкивающихся электронов принимается за первичный.

Решение. Когда первичный и вторичный электроны приобретают после столкновения сравнимые энергии, надо учитывать обменный эффект. Поэтому для торможения с передачей энергии от некоторого значения до наибольшего (принятое нами определение первичного электрона!) надо пользоваться сечением (148,17):

Складывая со (149,14), получим

(в атомных единицах).