§ с. Полиномы Лежандра

Полиномы Лежандра определяются формулой

Они удовлетворяют дифференциальному уравнению

Присоединенные полиномы Лежандра определяются формулой

или эквивалентной ей

причем Присоединенные полиномы удовлетворяют уравнению

Нормировочный интеграл полиномов Лежандра вычисляется подстановкой в него выражений и -кратным интегрированием по частям, после чего он оказывается равным

Подстановкой этот интеграл приводит к В-интегралу Эйлера и дает

Аналогичным образом легко убедиться в том, что функции с различными I взаимно ортогональны

Вычисление нормировочного интеграла для присоединенных полиномов легко произвести аналогичным образом, написав в виде произведения выражений (с, 3) и (с, 4) и интегрируя раз по частям; в результате получается

Легко также убедиться в том, что функции Р" с различными I (и одинаковыми ) взаимно ортогональны:

Вычисление интегралов от произведений трех полиномов Лежандра рассматривалось в § 107.

Для полиномов Лежандра имеет место следующая теорема сложения. Пусть — угол между двумя направлениями, определяемыми сферическими углами . Тогда

Эта теорема может быть также записана в терминах шаровых функций (определенных согласно (28,7)) в виде

Здесь — два единичных вектора, означает сферическую функцию от полярного угла и азимута направления относительно фиксированной системы координат.

Умножим равенство на и проинтегрируем его по Интегрирование обращает в нуль все члены в правой стороне равенства, содержащие множители с учетом получим

Этот результат можно записать в симметричном виде

где — три единичных вектора, а интегрирование производится по направлениям одного из них — Наконец, приведем выражения нескольких первых нормированных сферических функций