Главная > Теоретическая физика. Т. III. Квантовая механика (нерелятивистская теория).
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 64. Вторичное квантование. Случай статистики Бозе

В теории систем, состоящих из большого числа одинаковых частиц, широко применяется особый метод рассмотрения, известный под названием вторичного квантования. Этот метод в особенности необходим в релятивистской теории, где приходится иметь дело с системами, в которых самое число частиц является переменным.

Пусть — некоторая полная система ортогональных и нормированных волновых функций стационарных состояний одной частицы. Это могут быть состояния частицы в некотором произвольно выбранном внешнем поле, но обычно выбираются просто плоские волны — волновые функции свободной частицы с определенными значениями импульса (и проекции спина). При этом с целью сведения спектра состояний к дискретному рассматривают движение частиц в большой, но ограниченной области пространства; для движения в ограниченном объеме собственные значения компонент импульса пробегают дискретный ряд (причем интервалы между соседними значениями обратно пропорциональны линейным размерам области и стремятся к нулю при их увеличении).

В системе свободных частиц импульсы частиц сохраняются по отдельности. Тем самым сохраняются и числа заполнения состояний — числа , указывающие, сколько частиц находится в каждом из состояний . В системе взаимодействующих частиц импульсы каждой из них уже не сохраняются, а потому не сохраняются и числа заполнения. Для такой системы можно говорить лишь о распределении вероятностей различных значений чисел заполнения. Поставим себе целью построить математический аппарат, в котором именно числа заполнения (а не координаты и проекции спинов частиц) играли бы роль независимых переменных.

В таком аппарате удобно пользоваться обозначениями Дирака (см. конец § 11), выбирая в качестве определяющих состояние квантовых чисел. Состояния, отвечающие волновым функциям (61,3) и (61,5), будут обозначаться При этом координатные и спиновые переменные уже не фигурируют в явном виде.

Соответственно такому выбору независимых переменных, так же и операторы различных физических величин (в том числе гамильтониан системы) должны формулироваться в терминах их воздействия на функции чисел заполнения. К такой формулировке можно прийти, отправляясь от обычного матричного представления операторов. При этом надо рассмотреть матричные элементы операторов по отношению к волновым функциям стационарных состояний системы невзаимодействующих частиц. Поскольку эти состояния можно описывать заданием определенных значений чисел заполнения, то тем самым выяснится характер воздействия операторов на эти переменные.

Рассмотрим сначала системы частиц, подчиняющихся статистике Бозе.

Пусть есть оператор какой-либо величины, относящейся к одной (а-й) частице, т. е. действующий только на функции переменных Введем симметричный по всем частицам оператор

(суммирование по всем частицам) и определим его матричные элементы по отношению к волновым функциям (61,3). Прежде всего легко сообразить, что матричные элементы будут отличны от нуля только для переходов без изменения чисел (диагональные элементы) и для переходов, при которых одно из этих чисел увеличивается, а другое уменьшается на единицу. Действительно, поскольку каждый из операторов действует только на одну функцию в произведении то его матричные элементы могут быть отличны нуля только для переходов с изменением состояния одной частицы; но это означает, что число частиц, находящихся в одном состоянии, уменьшается, а в другом соответственно увеличивается на единицу. Вычисление этих матричных элементов по существу очень просто; его легче произвести самому, чем проследить за его изложением. Поэтому мы приведем только результат вычисления. Недиагональные элементы равны

Мы указываем только те индексы, по которым матричный элемент не диагонален, опуская для краткости остальные. Здесь матричный элемент

поскольку операторы отличаются только обозначением переменных, на которые они действуют, то интегралы (64,3) от индекса а не зависят и этот индекс опущен. Диагональные матричные элементы от представляют собой средние значения величины F в состояниях Вычисление дает

Введем теперь основные в методе вторичного квантования операторы действующие уже не на функции координат, а на функции чисел заполнения. По определению, оператор действуя на состояние уменьшает на единицу значение переменной одновременно умножая функцию на

Можно сказать, что оператор уменьшает на единицу число частиц, находящихся в состоянии; его называют поэтому оператором уничтожения частиц. Его можно представить в виде матрицы, единственный отличный от нуля элемент которой есть

Сопряженный с оператор изображается, по определению (см. (11,9)), матрицей с единственным элементом

Это значит, что при воздействии на функцию он увеличивает число на 1:

Другими словами, оператор увеличивает на 1 число частиц в состоянии; его называют оператором рождения частиц.

Произведение операторов при воздействии на волновую функцию может лишь умножить ее на постоянную, оставляя все переменные неизменными: оператор а уменьшает переменную на 1, после чего возвращает ее к исходному значению.

Непосредственное перемножение матриц (64,6) и (64,7) действительно показывает, что изображается диагональной матрицей с диагональными элементами, равными

Аналогичным образом найдем

(64,10)

Разность этих выражений дает правило коммутации между операторами

(64,11)

Операторы же с различными индексами i и k, действующие на различные переменные коммутативны:

(64,12)

Исходя из описанных свойств операторов легко видеть, что оператор

(64,13)

совпадает с оператором (64,1). Действительно, все матричные элементы, вычисленные с помощью (64,6), (64,7), совпадают с элементами (64,2) и (64,4). Этот результат очень важен. В формуле (64,13) величины — просто числа. Таким образом, нам удалось выразить обычный оператор, действующий на функции координат, в виде оператора, действующего на функции новых переменных — чисел заполнения

Полученный результат легко обобщается и на операторы другого вида. Пусть

(64,14)

где — оператор физической величины, относящейся сразу к паре частиц и поэтому действующей на функции от На и Аналогичные вычисления покажут, что такой оператор может быть выражен через операторы посредством

(64,15)

где

Обобщение этих формул на симметричные по всем частицам операторы любого другого вида и т. д.) очевидно.

С помощью этих формул можно выразить через операторы также и гамильтониан исследуемой физической системы из N взаимодействующих одинаковых частиц. Гамильтониан такой системы, разумеется, симметричен по всем частицам. В нерелятивистском приближении он не зависит от спинов частиц и может быть представлен в общем виде следующим образом:

Здесь есть часть гамильтониана, зависящая от координат только одной (а-й) частицы:

(64,17)

где потенциальная энергия одной частицы во внешнем поле. Остальные члены в (64,16) отвечают энергии взаимодействия частиц друг с другом, причем отделены друг от друга члены, зависящие соответственно от координат двух, трех и т. д. частиц.

Представление гамильтониана в такой форме позволяет непосредственно применить формулы (64,13), (64,15) и аналогичные им. Таким образом,

Этим осуществляется искомое выражение гамильтониана в виде оператора, действующего на функции от чисел заполнения.

Для системы невзаимодействующих частиц в выражении (64,18) остается только первый член:

(64,19)

Если в качестве функций выбраны собственные функции гамильтониана отдельной частицы, то матрица диагональна и ее диагональные элементы — собственные значения энергии частицы . Таким образом,

заменяя оператор его собственными значениями (64,9), получим для уровней энергии системы выражение

— тривиальный результат, который и должен был получиться.

Развитый здесь аппарат можно представить в более компактном виде, введя так называемые операторы

где переменные рассматриваются как параметры. В силу сказанного выше об операторах ясно, что оператор уменьшает, а увеличивает полное число частиц в системе на единицу.

Легко видеть, что оператор создает частицу, находящуюся в точке Действительно, в результате действия оператора создается частица в состоянии с волновой функцией Отсюда следует, что в результате воздействия оператора создается частица в состоянии с волновой функцией

(использована формула (5,12)), что и соответствует частице с определенными значениями координат и спина

Правила коммутации операторов получаются непосредственно из правил коммутации операторов :

(64,21)

Вторично-квантованный оператор напишется с помощью - операторов в виде

(64,23)

(здесь подразумевается, что оператор действует в ) на функции параметров ). Действительно, подставив сюда в виде (64,20) и используя определение (64,3), вернемся к формуле (64,13). Аналогичным образом вместо (64,15) будем иметь

(64,24)

В частности, гамильтониан системы, выраженный через операторы, напишется в виде

Оператор , построенный из операторов подобно произведению определяющему плотность вероятности для частицы в состоянии с волновой функцией называют оператором плотности частиц. Интеграл же

(64,26)

играет в аппарате вторичного квантования роль оператора полного числа частиц в системе. Действительно, подставив в него операторы в виде (64,20) и приняв во внимание нормированность и взаимную ортогональность волновых функций, получим Каждый член этой суммы есть оператор числа частиц в состоянии — согласно (64,9) его собственные значения равны числам заполнения сумма же всех этих чисел есть полное число частиц в системе.

Наконец, отметим, что если система состоит из бозонов различного рода, то в методе вторичного квантования должны быть введены свои операторы для каждого рода частиц. При этом, очевидно, операторы, относящиеся к различным родам частиц, коммутативны друг с другом.

1
Оглавление
email@scask.ru