§ 33. Сферические волны

Плоская волна

описывает стационарное состояние, в котором свободная частица обладает определенным импульсом (и энергией ). Рассмотрим теперь такие стационарные состояния свободной частицы, в которых она обладает, наряду с энергией, определенными величиной и проекцией момента. Вместо энергии нам будет удобно ввести волновой вектор

Волновая функция состояния с моментом l и его проекцией имеет вид

(33,2)

где радиальная функция определяется уравнением

(уравнение (32,8) без Волновые функции относящиеся к непрерывному (по k) спектру, удовлетворяют условиям нормировки и взаимной ортогональности:

Взаимная ортогональность при различных , обеспечивается угловыми функциями. Радиальные же функции должны быть нормированы условием

Если нормировать волновые функции не «по шкале , а «по шкале энергии», т. е. условием

то, согласно общей формуле (5,14),

При 1 — 0 уравнение (33,3) можно написать в виде

его решение, конечное при и нормированное условием (33,4) (ср. (21,9)), есть

Для решения уравнения (33,3) с делаем подстановку

Для будем иметь уравнение

Если продифференцировать это уравнение по , то получим

Подстановкой оно приводится к виду

действительно совпадающему с тем, которому должна удовлетворять функция Таким образом, последовательные функции связаны друг с другом посредством

а потому

где определяется формулой (33,6) (это выражение может быть, разумеется, умножено еще на произвольную постоянную).

Таким образом, окончательно находим следующее выражение для радиальных функций свободного движения частицы:

(множитель введен для нормировки — см. ниже; множитель — из соображений удобства).

Функции (33,9) могут быть выражены через функции Бесселя полуцелого порядка:

(33,10)

вводимые в этой связи функции

(33,11)

называют сферическими функциями Бесселя.

Для получения асимптотического выражения радиальной функции (33,9) на больших расстояниях замечаем, что член, наименее быстро убывающий с при получается при -кратном дифференцировании синуса. Поскольку каждое дифференцирование, синуса прибавляет член в его аргументе, то получаем следующее асимптотическое выражение:

Нормировку функций можно производить по их асимптотическим выраженйям, как это было объяснено в § 21. Сравнив асимптотическую формулу (33,12) с нормированной функцией видим, что функции с выбранным в (33,9) коэффициентом действительно нормированы должным образом.

Вблизи начала координат (малые ) находим, разложив в ряд и сохранив только член, дающий после дифференцирований наиболее низкую степень :

Таким образом, вблизи начала координат функции имеют вид

(33,13)

в согласии с общим результатом (32,15).

В некоторых задачах (в теории рассеяния) приходится рассматривать волновые функции, не удовлетворяющие обычным условиям конечности, а соответствующие потоку частиц, вылетающих из центра или, напротив, падающих на него.

Волновая функция, описывающая такой поток частиц с моментом получится, если взять вместо стоячей сферической волны (33,6) решение в виде расходящейся или сходящейся сферической волны:

(33,14)

В общем случае для отличного от нуля момента I получим решение уравнения (33,3) в виде

Эти функции могут быть выражены через функции Ганкеля

(33,16)

(первого и второго рода — соответственно для знаков -j- и ). Асимптотическое выражение функции (33,15)

(33,17)

Вблизи же начала координат она имеет вид

(33,18)

Нормируем эти функции так, чтобы они соответствовали испусканию (или поглощению) в единицу времени одной частицы. Для этого заметим, что на больших расстояниях сферическая волна в каждом небольшом участке может рассматриваться как плоская и плотность потока в ней равна , где — скорость частиц. Нормировка определяется условием где интегрирование производится по сферической поверхности большого радиуса , т. е. , где — элемент телесного угла. Оставляя нормировку угловых функций прежней, мы должны, следовательно, положить коэффициент А в радиальной функции равным

Асимптотическое выражение, аналогичное (33,12), имеет место не только для радиальной части волновой функции свободного движения, но и при движении (с положительной энергией) в любом поле, достаточно быстро убывающем с расстоянием.

На больших расстояниях можно пренебречь в уравнении Шредингера как полем, так и центробежной энергией, и остается приближенное уравнение

Общее решение этого уравнения

(33,20)

где — постоянная (фазовый сдвиг), а общий множитель выбран в соответствии с нормировкой волновой функции «по шкале Постоянная фаза определяется граничным условием (конечность при при котором должно решаться точное уравнение Шредингера, и не может быть вычислена в общем виде. Фазы являются, разумеется, функциями как от l, так и от k и представляют собой существенную характеристику собственных функций непрерывного спектра.

Задачи

1. Определить уровни энергии для движения частицы с моментом в сферической прямоугольной потенциальной яме: при при

Решение. При волновые функции зависят только от . Внутри ямы уравнение Шредингера имеет вид

Решение, конечное при

При имеем уравнение

Решение, обращающееся в нуль на бесконечности,

Условие непрерывности логарифмической производной от при дает

или

Этим уравнением определяются, неявным образом, искомые уровни энергии (должны быть взяты те корни уравнения, для которых как это следует из ). Первый из этих уровней (уровни с ) является в то же время самым глубоким из всех вообще уровней энергии, т. е. соответствует нормальному состоянию частицы.

При слишком малой глубине потенциальной ямы уровни отрицательной энергии вообще отсутствуют, частица не может «удержаться» ямой. Это легко видеть из уравнения (2) с помощью следующего графического построения. Корни уравнения вида изображаются точками пересечения прямой кривыми , причем мы должны рассматривать только те точки пересечения, в которых соответствующие участки кривых изображены на рис. 9 сплошной линией. Мы видим, что при слишком больших а (малых ) таких точек пересечения вообще нет. Первая такая точка появляется, когда прямая занимает показанное на рис. 9 положение, т. е. при и находится при Полагая получаем отсюда для минимальной глубины ямы, при которой появляется первый отрицательный уровень,

Рис. 9

Эта величина тем больше, чем меньше радиус ямы а. Положение первого уровня Е, в момент его появления определяется из и равно как и естественно было ожидать. По мере дальнейшего увеличения глубины ямы нормальный уровень тоже понижается. При малой разности это понижение происходит по закону

2. Определить порядок расположения уровней энергии с различными значениями момента l в очень глубокой сферической потенциальной яме (W. Elsasser, 1933).

Решение. Условие на границе ямы требует, при обращения в нуль (см. § 22). Написав радиальную волновую функцию внутри ямы в виде (33,10), получим уравнение

корни которого определяют положение уровней над дном ямы при различных значениях l. Порядок их расположения, начиная от основного состояния, оказывается следующим:

Цифра перед буквой нумерует в порядке возрастающей последовательности уровни с одинаковым l.

3. Определить последовательность, в которой появляются уровни с различными l по мере возрастания глубины ямы

Решение. В момент своего первого появления новый уровень имеет энергию Соответствующая волновая функция в облайй вне ямы, обращающаяся в нуль при есть (решение уравнения (33,3) с Из непрерывности на границе ямы следует, в частности, непрерывность производной откуда в данном случае получается следующее условие для волновой функции внутри ямы:

Оно эквивалентно условию обращения в нуль функции и, ввиду (33,10), получаем уравнение

при функцию надо заменить на Отсюда получается следующая последовательность появления новых уровней при увеличении

Отметим, что отличия от порядка расположения уровней в глубокой яме появляются лишь для сравнительно высоких уровней.

4. Определить уровни энергии пространственного осциллятора (частица в поле ), кратности их вырождения и возможные значения орбитального момента в соответствующих стационарных состояниях.

Решение. Уравнение Шредингера для частицы в поле допускает разделение переменных, приводящее к трем уравнениям типа линейного осциллятора. Поэтому уровни энергии

Кратность вырождения уровня равна числу способов, которыми может быть представлено в виде суммы трех целых неотрицательных чисел а); оно равно

Волновые функции стационарных состояний

(5)

где ( — масса частицы). При изменении знака координаты полином умножается на Поэтому четность функции (5) есть Составляя линейные комбинации этих функций с заданной суммой можно образовать функции

где F — вырожденная гипергеометрическая функция, пробегает значения для четных — для нечетных , последнее очевидно из сопоставления четности функций (5) и четности функций (6), которые должны быть одинаковыми. Этим определяются возможные значения орбитального момента, соответствующие рассматриваемым уровням энергии.

Последовательность уровней пространственного осциллятора (в тех же обозначениях, что и в задачах 2, 3), следовательно, такова:

где в скобки заключены взаимно вырожденные состояния.