§ 60. Обращение времени и теорема Крамерса

Симметрия движения по отношению к изменению знака времени в квантовой механике выражается в том, что если есть волновая функция некоторого стационарного состояния системы, то и «обращенная по времени» волновая функция (обозначим ) описывает некоторое возможное состояние с той же энергией. В конце § 18 было указано, чтсфобр совпадает с комплексно сопряженной функцией . В таком простом виде это утверждение относится к волновым функциям без учета спина частиц. При наличии спина оно требует уточнения.

Представим волновую функцию частицы со спином s в виде контравариантного спинора (ранга ). При переходе к комплексно сопряженным функциям - мы получим, однако, совокупность величин, преобразующихся как компоненты ковариантного спинора. Поэтому операции обращения времени соответствует переход от волновой функции к новой волновой функции, ковариантные компоненты которой определяются согласно

При заданной совокупности значений индексов компоненты ко- и контравариантных спиноров соответствуют отличающимся по знаку значениям проекции момента.

Поэтому в терминах функций обращению времени соответствует переход от как и должно было быть, поскольку изменение знака времени меняет направление момента. Точное соответствие устанавливается согласно (60,1):

Другими словами, замена требуемая операцией обращения времени, означает замену

При двукратном повторении этой операции имеем

Таким образом, двукратное обращение времени возвращает волновую функцию к исходному значению лишь при целом спине, а при полуцелом спине оно меняет знак волновой функции.

Рассмотрим произвольную систему взаимодействующих частиц. Орбитальный и спиновый моменты такой системы, каждый в отдельности, при учете релятивистских взаимодействий, вообще говоря, не сохраняются. Сохраняется лишь полный момент J. Если никакого внешнего поля нет, то каждый уровень энергии системы кратно вырожден. При включении внешнего поля это вырождение, вообще говоря, снимается. Возникает вопрос о том, может ли вырождение быть снятым полностью, т. е. так, чтобы система имела только простые уровни. Этот вопрос тесно связан с симметрией по отношению к обращению времени.

В классической электродинамике имеет место инвариантность уравнений по отношению к изменению знака времени, если при этом оставить неизменным электрическое поле и изменить знак магнитного поля. Это фундаментальное свойство движения должно сохраняться и в квантовой механике. Поэтому симметрия по отношению к обращению времени имеет место не только для замкнутой системы, но и во всяком внешнем электрическом поле (при отсутствии магнитного поля).

Волновые функции системы представляют собой спиноры ранг которых равен удвоенной сумме спинов всех частиц (); эта сумма может не совпадать с полным спином S системы. Согласно сказанному выше мы можем утверждать, что в произвольном электрическом поле волновая функция и обращенная к ней по времени функция должны соответствовать состояниям с одинаковой энергией. Для того чтобы уровень был невырожденным, во всяком случае необходимо, чтобы эти состояния были тождественными, т. е. соответствующие волновые функции должны совпадать с точностью до постоянного множителя.

При этом, конечно, обе должны быть выражены в виде одинаковых (ко- или контравариантных) спиноров.

Напишем или, согласно (60,1),

где С — постоянная. Взяв комплексно сопряженное от обеих сторон этого равенства, получим

Опустим индексы в левой стороне равенства, соответственно подняв их в правой. Это значит, что мы умножаем обе стороны венства на и суммируем по индексам правой стороне надо воспользоваться тем, что

В результате получим

Подставив из (60,4), найдем

Это равенство должно выполняться тоджественно, т. е. должно быть . Но поскольку во всяком случае положительно, то ясно, что это возможно лишь при четном (т. е. при целочисленном значении суммы При нечетном (при полуцелом значении ) условие (60,4) не может выполняться.

Таким образом, мы приходим к результату, что электрическое поле может полностью снять вырождение только у системы с целочисленным значением суммы спинов частиц. У системы с полуцелой суммой спинов в произвольном электрическом поле все уровни должны быть двукратно вырождены, причем двум различным состояниям с одинаковой энергией соответствуют комплексно сопряженные спиноры (Н. A. Kramers, 1930).

Сделаем еще одно замечание математического характера. Соотношение вида (60,4) с вещественной постоянной С представляет собой, с математической точки зрения, условие того, чтобы компонентам спинора можно было поставить в соответствие набор каких-либо вещественных величин; такое условие можно назвать условием «вещественности» спинора.

Невозможность выполнения соотношения (60,4) при нечетном означает, что никакому спинору нечетного ранга не может быть сопоставлена вещественная величина. Напротив, при четном условие (60,4) может выполняться, причем С может быть вещественной. В частности, симметричному спинору второго ранга может быть приведен в соответствие вещественный вектор, если выполняется условие (60,4) с

(в чем легко убедиться с помощью формул (57,8)-(57,9)). Вообще, условие (60,4) с является условием «вещественности» симметричного спинора любого четного ранга.