ГЛАВА XII. ТЕОРИЯ СИММЕТРИИ

§ 91. Преобразования симметрии

Классификация термов многоатомной молекулы существенно связана, как и у двухатомной молекулы, с ее симметрией. Поэтому мы начинаем с изучения типов симметрии, которыми может обладать молекула.

Симметрия тела определяется совокупностью тех перемещений, которые совмещают тело с самим собой; об этих перемещениях говорят, как о преобразованиях симметрии. Каждое из возможных преобразований симметрии можно представить в виде комбинации одного или нескольких из трех основных типов преобразований. Этими тремя существенно различными типами являются: поворот тела на определенный угол вокруг некоторой оси, зеркальное отражение в некоторой плоскости и параллельный перенос тела на некоторое расстояние. Из них последним типом может обладать, очевидно, только неограниченная среда (кристаллическая решетка). Тело, же конечных размеров (в частности, молекула) может быть симметрично только по отношению к поворотам и отражениям.

Если тело совмещается само с собой при повороте вокруг некоторой оси на угол то такая ось называется осью симметрии порядка. Число может иметь любое целое значение: значение соответствует повороту на угол или, что то же, на 0, т. е. соответствует тождественному преобразованию. Операцию поворота вокруг данной оси на угол мы будем обозначать символически посредством Повторяя эту операцию два, три, раза, мы получим повороты на углы которые тоже совмещают тело с самим собой; эти повороты можно обозначать как Очевидно, что если кратно , то

В частности, произведя поворот раз, мы вернемся в исходное положение, т. е. произведем тождественное преобразование; последнее принято обозначать посредством Е, т. е. можно написать

Если тело совмещается с самим собой при зеркальном отражении в некоторой плоскости, то такая плоскость называется плоскостью симметрии. Операцию отражения в плоскости мы будем обозначать символом а. Очевидно, что двукратное отражение в одной плоскости есть тождественное преобразование

Одновременное применение обоих преобразований — поворота и отражения — приводит к так называемым зеркально-поворотным осям. Тело обладает зеркально-поворотной осью порядка, если оно совмещается с самим собой при повороте вокруг этой оси на угол и последующем отражении в плоскости, перпендикулярной к оси (рис. 32).

Рис. 32

Легко сообразить, что это есть некоторый новый вид симметрии только в том случае, если — четное число. Действительно, если — нечетное число, то -кратное повторение зеркально-поворотного преобразования будет равносильно простому отражению в плоскости, перпендикулярной к оси (поскольку угол поворота будет равен а нечетное число отражений в одной и той же плоскости есть простое отражение). Повторяя это преобразование еще раз, найдем в результате, что зеркально-поворотная ось сводится к одновременному наличию независимых оси симметрии порядка и перпендикулярной к ней плоскости симметрии. Если же — четное число, то -кратное повторение зеркально-поворотного преобразования возвращает тело в исходное положение.

Зеркально-поворотное преобразование обозначаем символом Обозначая отражение в плоскости, перпендикулярной к данной оси, посредством можем написать, по определению

(порядок, в котором производятся операции очевидно, не влияет на результат).

Важным частным случаем является зеркально-поворотная ось второго порядка. Легко сообразить, что поворот на угол я с последующим отражением в плоскости, перпендикулярной к оси вращения, представляет собой преобразование инверсии, при котором точка Р тела переводится в другую точку , лежащую на продолжении прямой, соединяющей Р с точкой О пересечения оси с плоскостью, так что расстояния ОР и одинаковы. О теле, симметричном относительно этого преобразования, говорят, что оно обладает центром симметрии.

Операцию инверсии мы будем обозначать символом имеем

Очевидно также, что другими словами, ось второго порядка, перпендикулярная к ней плоскость симметрии и центр симметрии в точке их пересечения взаимно зависимы — наличие любых двух из этих элементов автоматически приводит к наличию также и третьего.

Укажем здесь ряд чисто геометрических свойств, присущих поворотам и отражениям, которые полезно иметь в виду при изучении симметрии тел.

Произведение двух поворотов вокруг осей, пересекающихся в некоторой точке, есть поворот вокруг некоторой третьей оси, проходящей через ту же точку. Произведение двух отражений в пересекающихся друг с другом плоскостях эквивалентно повороту; ось этого поворота, очевидно, совпадает с линией пересечения плоскостей, а угол поворота равен, как легко убедиться простым геометрическим построением, удвоенному углу между обеими плоскостями. Если обозначить прворот вокруг оси на угол посредством а отражения в двух плоскостях, проходящих через ось, символами то высказанное утверждение можно записать в виде

где — угол между обеими плоскостями. Необходимо отметить, что порядок, в котором производятся оба отражения, не безразличен: преобразование дает поворот в направлении от плоскости , а при перестановке множителей мы получим поворот в обратном направлении. Умножая равенство (91,6) слева на получим

другими словами, произведение поворота и отражения в плоскости, проходящей через ось, эквивалентно отражению в другой плоскости, пересекающейся с первой под углом, равным половине угла поворота. В частности, отсюда следует, что ось симметрии второго порядка и две проходящие через нее взаимно перпендикулярные плоскости симметрии взаимно зависимы: наличие двух из них требует также наличия третьей.

Покажем, что произведение поворотов на угол вокруг двух пересекающихся под углом осей (Оа и Оb на рис. 33) есть поворот на угол вокруг оси, перпендикулярной к первым двум на рис. 33).

Действительно, заранее ясно, что результирующее преобразование есть тоже поворот; после первого поворота (вокруг Оа) точка Р переходит в Р, а после второго (вокруг Оb) она возвращается в исходное положение. Это значит, что линия РР остается неподвижной и, следовательно, является осью поворота. Для определения угла поворота достаточно заметить, что при первом повороте ось Оа остается на месте, а после второго переходит в положение Оа, образующее с Оа угол . Таким же способом можно убедиться в том, что при перемене порядка обоих преобразований мы получим поворот в противоположном направлении.

Рис. 33

Хотя результат двух последовательных преобразований зависит, вообще говоря, от порядка, в котором они производятся, но в ряде случаев порядок операций несуществен — преобразования коммутативны. Это имеет место для следующих преобразований:

1) два поворота вокруг одной и той же оси;

2) два отражения во взаимно перпендикулярных плоскостях (они эквивалентны повороту на угол вокруг линии пересечения плоскостей);

3) два поворота на угол вокруг взаимно перпендикулярных осей (они эквивалентны повороту на тот же угол вокруг третьей перпендикулярной оси);

4) поворот и отражение в плоскости, перпендикулярной к оси поворота;

5) любой поворот (или отражение) и инверсия в точке, лежащей на оси вращения (или в плоскости отражения); это следует из 1 и 4.