§ 4. Некоторые сведения о рациональных функциях

50. Целые и дробные рациональные функции. Деление многочленов.

В п. 37 мы определили понятия целой и дробной рациональной функции от степени задавались в виде

а д. р.ф. - как частное от деления двух ц. р.ф.:

Ц. р. ф. определена при всех значениях аргумента, а д. р.ф. не определена только в нулях знаменателя.

При сложении, вычитании, умножении и делении рациональных функций вновь получаются рациональные функции. Здесь мы остановимся на вопросе о делении двух целых рациональных функций (или о делении двух многочленов от х).

Напомним сначала определение частного и остатка при делении натуральных чисел (п. 6): если а и b - два любых натуральных числа, то всегда можно найти два других числа q и такие, что

и . Число q называется частным, а — остаткам при делении а на b.

Весьма сходным образом мы определим теперь частное и остаток при делении двух многочленов. Пусть

и

- два произвольных многочлена. Назовем два других многочлена удовлетворяющие условиям:

соответственно частным и остатком при делении многочленов Заметим, что, вместо условия «остаток меньше делителя» в случае чисел, для многочленов вводится условие «степень остатка меньше степени делителя».

В этом определении подразумевается, что равенство (50.3) имеет тождественный характер: если произвести действия умножения и сложения многочленов в его правой части, то получится многочлен с теми же коэффициентами при соответствующих степенях что и

Пример 1. В записи

х+1 - частное, а 2 - остаток от деления на Пример 2. В записи

- частное от деления на , а остаток равен нулю.

Определение. Говорят, что многочлен делится на многочлен нацело, если существует многочлен такой, что

(иначе: остаток при делении ) на равен нулю).

Следует поставить вопросы: всегда ли для двух многочленов существуют частное и остаток, единственным ли образом определены частное и остаток? Не приводя доказательства, даем ответ на эти вопросы: каковы бы ни были два многочлена существуют единственным образом определенные многочлены являющиеся частным и остатком при делении на

Так как, очевидным образом, степень многочлена-произведения равна сумме степеней многочленов-сомножителей, то нетрудно сделать вывод: при степень частного от деления на равна разности степеней при частное тождественно равно нулю; в последнем случае

(аналогично тому, как при делении 5 на 7 получим:

При наше утверждение о степени выясняется из сравнения степеней многочленов в обеих частях равенства

Так как степень по определению меньше , то она также меньше степени . Степень должна равняться степени откуда степень равна

Напомним на примере метод деления многочленов (деление «углом»).

Пример 3. Найти частное и остаток при делении

Решение.

Ограничимся пояснением первых шагов: делим старший член делимого на старший член делителя; получаем Умножаем делитель на и результат подписываем под делимым. Вычитаем подписанный результат из делимого и снова делим старший член разности на старший член делителя Процесс заканчивается, когда очередной остаток при вычитании имеет степень, меньшую степени делителя (или просто равен нулю).

Таким образом,

Если обе части равенства определяющего частное и остаток от деления на разделить почленно на , то получим равенство

представляющее дробную рациональную функцию в виде суммы целой части и дроби , у которой степень числителя меньше степени знаменателя (правильная рациональная дробь). Это сходно с разложением числовой дроби (рационального числа) на целую и дробную части.